2 de noviembre de 2025
Kuina-chan
En el episodio 3 de “Matemáticas de Kuina-chan”, explicaré los enteros, que incluyen los números negativos además de los números naturales. Este episodio asume que has leído la serie en orden, comenzando por Episodio 1.
En el episodio 2, probamos que “1+1=2” utilizando conjuntos, números naturales y los axiomas de la suma. Sin embargo, incluso sin recurrir a estos axiomas, estamos convencidos de que “1+1=2” es cierto. Por eso, en lugar de seguir probando cosas como “1\times1=1” o “1-1=0” como hicimos antes, asumiré que también pueden demostrarse si lo deseamos, y a partir de ahora me centraré en cosas que realmente no sabemos si son ciertas.

1.Enteros

En el episodio 2, representamos los números naturales como el conjunto “\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\dots\}”. Si añadimos los números negativos (excepto el cero), obtenemos los “enteros”. Es decir, si representamos el conjunto de todos los enteros como “\mathbb{Z}”, tenemos “\mathbb{Z}=\{\dots-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}”.
Los números mayores que 0 se llaman números “positivos”, y los menores que 0 se llaman números “negativos”. El 0 no es ni positivo ni negativo.
Como sabes, para cualquier par de enteros a y b, se pueden realizar operaciones como suma “a+b”, resta “a-b” y multiplicación “a\timesb”. “a\timesb” también puede escribirse como “a\cdotb”, y a menudo se omite el signo de multiplicación y se escribe como “ab”. A partir de ahora, lo escribiré de esa manera.

1.1Potencias


Para un entero a y un entero b mayor o igual que 0, el número que resulta de multiplicar a por sí mismo b veces se llama “potencia” y se escribe como “a^{b}”. Por ejemplo, “2^{3}” es “2\cdot2\cdot2”, que es 8. “10^{4}” es “10\cdot10\cdot10\cdot10”, que es 10000.
Sin embargo, para cualquier número a distinto de cero, definimos “a^{0}=1”. Por ejemplo, “2^{0}=1” y “(-5)^{0}=1”.
Nota

Si observamos que “2⁵ = 32”, “2⁴ = 16”, “2³ = 8”, “2² = 4”, “2¹ = 2”, vemos que el resultado se reduce a la mitad cada vez, por lo que es natural pensar que “2⁰ = 1”.

“0^{0}” a veces se define como “1” por conveniencia, pero en muchos casos no se define por diversas razones.
Nota

Una de las razones por las que “0⁰” no se define normalmente es que, si observamos “3⁰ = 1”, “2⁰ = 1”, “1⁰ = 1”, parece natural pensar que “0⁰ = 1”. Pero si observamos “0³ = 0”, “0² = 0”, “0¹ = 0”, parece natural pensar que “0⁰ = 0”. Estas dos ideas entran en conflicto.

Las potencias cumplen las siguientes reglas:
Reglas de los exponentes
  1. a^{m}\cdota^{n}=a^{m}^{+}^{n}
  2. a^{m}/a^{n}=a^{m}^{-}^{n}
  3. (a^{m})^{n}=a^{m}^{\cdot}^{n}
  4. (a\cdotb)^{n}=a^{n}\cdotb^{n}
(1) es evidente porque al multiplicar “a\cdota\cdot\dots\cdota” (a aparece m veces) por “a\cdota\cdot\dots\cdota” (a aparece n veces), obtenemos “a\cdota\cdot\dots\cdota” (a aparece m+n veces).
(2) es una resta porque al dividir se reduce el número de veces que aparece a.
(3) significa que “a\cdota\cdot\dots\cdota” (a aparece m veces) se repite n veces, lo que da “a\cdota\cdot\dots\cdota” (a aparece m\cdotn veces).
(4) significa que “a\cdotb\cdota\cdotb\cdot\dots\cdota\cdotb” (a y b aparecen n veces cada uno), y al reordenar obtenemos “a\cdota\cdot\dots\cdota\cdotb\cdotb\cdot\dots\cdotb” (a y b aparecen n veces cada uno).

1.2Valor absoluto


Ahora, la “distancia desde el cero” de un entero a se llama “valor absoluto” y se escribe como “|a|”. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es “|5|=5”, y el de -3 es “|-3|=3”.
Puedes pensar en el valor absoluto como “el mismo número si es positivo, y el número sin el signo negativo si es negativo”.
Definición formal del valor absoluto:
Definición del valor absoluto

El valor absoluto |a| de un entero a se define como:

  • Si a\geq0, entonces |a|=a.
  • Si a<0, entonces |a|=-a.
Por ejemplo, si a=-3, como a<0, entonces |a|=-a=-(-3)=3.

2.Propiedades de los enteros

A continuación, explicaré varias propiedades de los enteros.

2.1Cociente y resto


La división de dos enteros (a/b) no siempre da como resultado un entero. Por eso, definimos el “cociente” y el “resto” como resultados que sí son enteros.
El “cociente” de “a/b” es el número de elementos que recibe cada persona si se reparten a elementos entre b personas. El “resto” es el número de elementos que sobran sin repartir. Por ejemplo, el cociente de “7/3” es 2 y el resto es 1.
Decir que el cociente de “7/3” es 2 y el resto es 1 significa que si repartimos 7 elementos entre 3 personas, cada una recibe 2 elementos y sobra 1. También podemos decir que hay 2 elementos por persona para 3 personas, más 1 sobrante, lo que da un total de 7 elementos. Esto se puede escribir como “2\cdot3+1=7”. Por lo tanto, el “cociente q y el resto r de a/b” se definen como los números que satisfacen “q\cdotb+r=a”.
Definición de cociente y resto

Para enteros a y b (con b\neq0), el cociente y el resto de “a/b” son los enteros q y r que satisfacen: q\cdotb+r=a y 0\leqr<b.

Por ejemplo, para “8/5”, el cociente es 1 y el resto es 3. Si sustituimos en la fórmula: a=8, b=5, q=1, r=3, obtenemos “1\cdot5+3=8” y “0\leq3<5”, lo que confirma que se cumple.
Si b=0, el cociente y el resto no se definen. Por ejemplo, “3/0” no está definido.

2.2Divisibilidad, divisores y múltiplos


Si el resto de “a/b” es 0, decimos que “b divide a a”. Por ejemplo, “4/2” tiene resto 0, así que 2 divide a 4. También “12/3” tiene resto 0, así que 3 divide a 12.
Cuando b divide a a, decimos que b es un “divisor” de a, y que a es un “múltiplo” de b. Por ejemplo, como 2 divide a 4, 2 es un divisor de 4, y 4 es un múltiplo de 2.
Los divisores de 12 son los números que dividen a 12, y si los ordenamos de menor a mayor, obtenemos “-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12”. Los múltiplos de 2 son “\dots-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots”, es decir, todos los números pares.
1 y -1 dividen a todos los enteros, así que los múltiplos de 1 o -1 son todos los enteros. Todos los enteros excepto el 0 dividen al 0, así que los divisores de 0 son todos los enteros excepto el 0.

2.3Divisores comunes y múltiplos comunes


Ahora, veamos los divisores y múltiplos que tienen en común dos o más enteros.
Un “divisor común” de a y b es un entero c que divide tanto a a como a b. Por ejemplo, 2 divide a 4 y a 6, así que es un divisor común de ambos.
Un “múltiplo común” de a y b es un entero c que es divisible por ambos. Por ejemplo, 10 es divisible por 2 y por 5, así que es un múltiplo común de ambos.
También podemos definir divisores comunes y múltiplos comunes para tres o más números.

2.4Máximo común divisor y mínimo común múltiplo


El mayor de los divisores comunes de a y b se llama “máximo común divisor” y se escribe “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(a,b)”. El menor de los múltiplos comunes positivos de a y b se llama “mínimo común múltiplo” y se escribe “\rm{m}\rm{c}\rm{m}(a,b)”.
Nota

“mcd” significa “máximo común divisor”, y “mcm” significa “mínimo común múltiplo”.

Por ejemplo, los divisores de 8 son “-8,-4,-2,-1,1,2,4,8”, y los de 6 son “-6,-3,-2,-1,1,2,3,6”. Los divisores comunes son “-2,-1,1,2”, y el mayor es 2, así que “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(8,6)=2”.
Los múltiplos positivos de 8 son “8,16,24,32,\dots”, y los de 6 son “6,12,18,24,30,\dots”. Los múltiplos comunes son “24,48,72,\dots”, y el menor es 24, así que “\rm{m}\rm{c}\rm{m}(8,6)=24”.
Para enteros positivos a y b, se cumple la fórmula “a\cdotb=\rm{m}\rm{c}\rm{d}(a,b)\cdot\rm{m}\rm{c}\rm{m}(a,b)”. Por ejemplo, como “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(8,6)=2” y “\rm{m}\rm{c}\rm{m}(8,6)=24”, entonces “8\cdot6=2\cdot24”, es decir “48=48”. Esto nos permite calcular uno si conocemos el otro.

2.5Algoritmo de Euclides


Calcular el máximo común divisor listando todos los divisores puede llevar tiempo, pero el “algoritmo de Euclides” permite encontrarlo rápidamente.
Algoritmo de Euclides
  1. De los dos enteros, llama a al mayor y b al menor.
  2. Calcula el resto r de a/b.
  3. Si r\neq0, entonces el máximo común divisor de a y b es igual al de b y r. Repite el proceso con b y r.
  4. Si r=0, entonces el máximo común divisor de a y b es b. (Fin del cálculo)
Por ejemplo, para encontrar el máximo común divisor de 128 y 80:
Máximo común divisor de 128 y 80
  • Como 128>80, ponemos a=128, b=80.
  • El resto de 128/80 es r=48, así que “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(128,80)=\rm{m}\rm{c}\rm{d}(80,48)”.
  • Repetimos: “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(80,48)=\rm{m}\rm{c}\rm{d}(48,32)=\rm{m}\rm{c}\rm{d}(32,16)”.
  • Como el resto de 32/16 es 0, entonces “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(32,16)=16”.
  • Por lo tanto, “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(128,80)=16”.
En general, es más fácil repetir divisiones que listar todos los divisores, así que este método es útil.

3.Números primos

Un número entero mayor o igual que 2 se llama “número primo” si sus únicos divisores positivos son 1 y él mismo. Por ejemplo, 5 es primo porque sus únicos divisores positivos son 1 y 5. 4 no es primo porque también tiene 2 como divisor.
En otras palabras, un número primo es un número entero mayor o igual que 2 que no puede dividirse por ningún otro número positivo excepto por 1 y él mismo. Los números que no son primos se llaman “números compuestos”.
Los números primos en orden creciente son “2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots”. Hay infinitos números primos. Además, su aparición parece irregular, y se han estudiado sus patrones desde la antigüedad hasta hoy.
Los números primos pueden encontrarse usando el método llamado “criba de Eratóstenes”, que se basa en la idea de que los números que no son múltiplos de otros primos son primos. El método se realiza como se muestra a continuación:
Criba de Eratóstenes
Criba de Eratóstenes

3.1Factorización prima


Todo número entero positivo puede expresarse como un producto de números primos. Por ejemplo, “4=2\cdot2”, “6=2\cdot3”, “50=2\cdot5\cdot5”. Esta expresión se llama “factorización prima”.
Los números primos que aparecen en la factorización se llaman “factores primos”. Por ejemplo, como “10=2\cdot5”, los factores primos de 10 son 2 y 5.
Todo número entero positivo puede factorizarse en primos, y si ignoramos el orden de los factores, la factorización es única. Por ejemplo, usando potencias: “1=2^{0}3^{0}5^{0}\dots”, “2=2^{1}3^{0}5^{0}\dots”, “3=2^{0}3^{1}5^{0}\dots”, “4=2^{2}3^{0}5^{0}\dots”, “5=2^{0}3^{0}5^{1}\dots”, “6=2^{1}3^{1}5^{0}\dots”. Esta propiedad se llama “unicidad de la factorización prima” y es útil para demostrar otros teoremas.
No se incluye el 1 como número primo porque, si lo hiciéramos, la factorización prima no sería única. Por ejemplo, “2=1^{0}2^{1}\dots=1^{1}2^{1}\dots=1^{2}2^{1}\dots=1^{3}2^{1}\dots”.

3.2Primos relativos


Dos enteros a y b se llaman “primos relativos” si no tienen divisores comunes excepto 1 y -1, es decir, si “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(a,b)=1”. Por ejemplo, como “\rm{m}\rm{c}\rm{d}(9,20)=1”, entonces 9 y 20 son primos relativos.
Para enteros positivos a y b, ser primos relativos significa que no comparten factores primos. Por ejemplo, como “9=3\cdot3” y “20=2\cdot2\cdot5”, no tienen factores primos en común, así que son primos relativos.

4.Congruencias

Volviendo al tema de los restos, si dividimos 5 entre 3, el resto es 2, y si dividimos 8 entre 3, el resto también es 2. Esto significa que en el mundo de los restos al dividir por 3, 5 y 8 son iguales. En este caso, decimos que “5 y 8 son congruentes módulo 3”, y lo escribimos como “5\equiv8 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 3)”.
En general, si los restos de a/m y b/m son iguales, decimos que “a y b son congruentes módulo m”, y escribimos “a\equivb (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m)”. Si no son iguales, escribimos “a\not\equivb (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m)”. Estas expresiones se llaman “congruencias”.
Por ejemplo, como el resto de “3/2” es igual al de “1/2”, escribimos “3\equiv1 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 2)”. En cambio, como los restos de “5/4” y “6/4” son diferentes, escribimos “5\not\equiv6 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 4)”.
Las congruencias tienen la propiedad de que siguen siendo válidas si se suma, resta o multiplica el mismo número en ambos lados.
Propiedades de las congruencias

Para cualquier entero a,b,m, si a\equivb (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m), entonces:

  1. Para cualquier entero n, a+n\equivb+n (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m).
  2. Para cualquier entero n, a-n\equivb-n (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m).
  3. Para cualquier entero n, a\cdotn\equivb\cdotn (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m).
Por ejemplo, como “5\equiv8 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 3)”, si multiplicamos ambos lados por 100, obtenemos “500\equiv800 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 3)”.

5.Ecuaciones indeterminadas

Finalmente, pongamos en práctica las propiedades de los enteros resolviendo un problema concreto. Se trata de una “ecuación indeterminada”.
Una “ecuación” es un problema en el que se busca el valor de una variable que hace que una igualdad sea cierta, como “4x=8”. El valor que satisface la igualdad se llama “solución” de la ecuación.
Una “ecuación indeterminada” es una ecuación que tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, “x+2y=3” tiene muchas soluciones, como “x=3,y=0” o “x=1,y=1”.
Aunque las ecuaciones indeterminadas tienen infinitas soluciones, si añadimos condiciones, el número de soluciones puede ser finito. Veamos un problema que se puede resolver como un rompecabezas usando estas condiciones.

5.1Problema


Aquí tienes un problema concreto de ecuación indeterminada:
Problema de ecuación indeterminada
Problema

Si invertimos el orden de los dígitos de 1234, obtenemos 4321. Supongamos que “invertir el orden” significa esto. Entonces, al invertir el orden de los dígitos de un número entero de 4 cifras N, obtenemos el cuádruple del número original. Encuentra el valor de N.

5.2Solución


Primero, construyamos la ecuación indeterminada. Llamemos a, b, c, d a las cifras de N de izquierda a derecha. Por ejemplo, si N=1234, entonces a=1, b=2, c=3, d=4. Entonces, N se expresa como “1000a+100b+10c+d”.
Como al invertir el orden obtenemos el cuádruple del número original, la ecuación es:
Ecuación indeterminada

4\cdot(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a

El lado izquierdo es el cuádruple de N, y el derecho es N con los dígitos invertidos.
Esta ecuación tiene cuatro variables, así que tiene muchas soluciones. Vamos a usar condiciones para reducirlas.

5.3Determinar el valor de a


Si a=0, entonces N no sería de 4 cifras, así que debe ser a>0. Además, si a\geq3, entonces 4N tendría más de 4 cifras, así que debe ser a<3. Por lo tanto, a es 1 o 2.
Si suponemos que a=1, la ecuación se convierte en “4\cdot(1000+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+1”. El último dígito del lado derecho es 1, pero no hay ningún número entero cuyo cuádruple termine en 1, así que no hay solución. Por lo tanto, solo puede haber solución si a=2.

5.4Determinar el valor de d


Sustituyendo a=2, la ecuación se convierte en “4\cdot(2000+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+2”. El último dígito del lado derecho es 2, así que buscamos valores de d tales que 4\cdotd termine en 2. Solo ocurre con d=3 y d=8.
Si probamos d=3, la ecuación se convierte en “4\cdot(2000+100b+10c+3)=3000+100c+10b+2”, que se simplifica a “b=(6c-501)/39”. Para c=0 a 9, b siempre es negativo, así que no hay solución. Por lo tanto, solo puede haber solución si d=8.

5.5Determinar los valores de b y c


Sustituyendo d=8, la ecuación se convierte en “4\cdot(2000+100b+10c+8)=8000+100c+10b+2”, que se simplifica a “b=(2c-1)/13”. Probando valores de c de 0 a 9, solo c=7 hace que b sea entero.
Sustituyendo c=7 en “b=(2c-1)/13”, obtenemos “b=(2\cdot7-1)/13=13/13=1”.
Por lo tanto, a=2, b=1, c=7, d=8, y N=2178. Si calculamos 2178\cdot4, obtenemos 8712, que es la inversión de 2178.
Hoy he explicado las propiedades básicas de los enteros. En el próximo episodio, hablaré de los “números reales” y de conceptos importantes como “funciones” y “aplicaciones”.
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