Lección 3 Números enteros - Matemáticas de Kuina-chan

9 de abril de 2026

Kuina-chan

«Matemáticas de Kuina-chan» ¡La Lección 3 explica los números enteros, incluyendo los números negativos! Se asume que has leído la Lección 1.

La Lección 2 probó «

» usando los axiomas de conjuntos, números naturales y la suma. Sin embargo, incluso sin mencionar esos axiomas, estamos convencidos de que «

». Por lo tanto, dejaremos de probar cosas como «

$\times$

» y «

» como en la lección anterior, aceptando que pueden ser probadas si uno se lo propone, y nos centraremos de ahora en adelante en «cosas de las que no estamos realmente seguros de si son ciertas».

1.Números Enteros

En la Lección 2, expresamos los números naturales como el conjunto « $\mathbb{N}$

$\{$

$\dots$ $\}$ », pero si incluimos números con un signo menos adjunto (excepto

), los llamamos «números enteros». Es decir, si el conjunto de todos los enteros es $\mathbb{Z}$ , entonces « $\mathbb{Z}$

$\{$ $\dots$

$\dots$ $\}$ ».

Los números mayores que

se llaman números «positivos», y los números menores que

se llaman números «negativos».

no es ninguno de los dos.

Como sabes, para dos enteros cualesquiera

, podemos realizar la suma «

», la resta «

», y la multiplicación «

$\times$

». «

$\times$

» a veces se escribe como « $\cdot$ », o a menudo se omite el símbolo de multiplicación y se escribe «». En este artículo, lo escribiremos así de ahora en adelante.

1.1Potenciación

Para un entero

y un entero

mayor o igual a

, « multiplicado veces» se escribe « $^{b}$ » y se llama «potenciación». Por ejemplo, «

$^{3}$ » es «

$\cdot$

», que es

. «

$^{4}$ » es «

$\cdot$

», que es

Sin embargo, para cualquier número

que no sea

, definimos «

$^{0}$

». Por ejemplo, «

$^{0}$

» y «

$^{0}$

».

Nota

Si miras «2⁵ = 32», «2⁴ = 16», «2³ = 8», «2² = 4», «2¹ = 2», el resultado se reduce a la mitad cada vez, así que puedes ver que es natural pensar «2⁰ = 1».

$^{0}$ » a veces se define como «

» por conveniencia, pero por varias razones, a menudo se deja indefinido.

Nota

Una razón por la que «0⁰» generalmente es indefinido es que mirar «3⁰ = 1», «2⁰ = 1», «1⁰ = 1» hace que sea natural pensar «0⁰ = 1», pero mirar «0³ = 0», «0² = 0», «0¹ = 0» hace que sea natural pensar «0⁰ = 0», llevando a una contradicción.

Las siguientes leyes se aplican a la potenciación.

(1) es claro porque multiplicar «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

veces)» y «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

veces)» resulta en «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

veces en total)».

(2) implica división, lo que reduce el número de

s, así que la cuenta de

s se convierte en una resta.

(3) significa que «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

veces)» se repite

veces, resultando en «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

$\cdot$

veces)».

(4) significa «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

$\cdot$

(

veces cada uno para

)», así que reordenar el orden resulta en «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

veces cada uno para

)».

1.2Valor Absoluto

La distancia de un entero

desde

se llama el «valor absoluto» de

, denotado como «». Por ejemplo, el valor absoluto de

es «

», y el valor absoluto de

es «

».

El valor absoluto puede verse como «dejar los números positivos tal como están, y quitar el signo menos de los números negativos».

Más estrictamente definido, es como sigue:

Por ejemplo, si

, dado que

, entonces

2.Propiedades de los Enteros

Ahora, expliquemos varias propiedades de los enteros.

2.1Cociente y Resto

La división de dos enteros (

) puede resultar en un valor que no es un entero. Por lo tanto, definimos «cociente» y «resto» donde los resultados del cálculo permanecen enteros.

Al realizar «

», el «cociente» es el número de objetos por persona cuando objetos se distribuyen entre personas. El «resto» es el número de objetos restantes que no pudieron ser distribuidos. Por ejemplo, para «

», el cociente es

y el resto es

«El cociente de

y el resto

» significa «cuando objetos se distribuyen entre personas, cada uno recibe objetos y queda objeto», lo cual puede reformularse como «hay personas con objetos cada una, y combinados con el objeto restante, esto hace objetos». Esto puede escribirse como «

$\cdot$

». En otras palabras, «cociente y resto de » se definen como números que satisfacen « $\cdot$ ».

Por ejemplo, considerando «

», el cociente es

y el resto es

. Sustituyendo

como

, el cociente

como

, y el resto

como

en la ecuación anterior produce « $\cdot$ y

$\leq$

», lo cual efectivamente satisface la expresión matemática.

En la expresión anterior, el cociente y el resto cuando

son indefinidos. Es decir, «

» etc. son indefinidos.

2.2Divisibilidad, Divisores y Múltiplos

Si el resto de es , decimos que «

divide

» (o

es divisible por

). Por ejemplo, «

» tiene un resto de

, así que

divide a

. También, «

» tiene un resto de

, así que

divide a

Cuando

divide a

se llama un «divisor» de

, y

se llama un «múltiplo» de

. Por ejemplo, dado que

divide a

es un divisor de

, y

es un múltiplo de

Listar los divisores de

en orden ascendente da «

». Los múltiplos de

son « $\dots$

$\dots$ », que es el conjunto de todos los números pares.

Dado que

dividen a todos los enteros, los múltiplos de

son todos los enteros. Todos los enteros excepto

dividen a

, así que los divisores de

son todos los enteros excepto

2.3Divisores Comunes y Múltiplos Comunes

Ahora consideremos los divisores comunes y múltiplos comunes de dos o más enteros.

Un divisor común a

se llama un «divisor común» de

. En otras palabras, si

divide a

, el entero

se llama un «divisor común» de

. Por ejemplo,

divide a

, así que

es uno de los divisores comunes de

Un múltiplo común a

se llama un «múltiplo común» de

. En otras palabras, si

divide a

, el entero

se llama un «múltiplo común» de

. Por ejemplo,

divide a

, así que

es uno de los múltiplos comunes de

Para tres o más números, los divisores comunes y múltiplos comunes pueden definirse de manera similar.

2.4Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

El mayor de los divisores comunes de

se llama el «máximo común divisor» de

, a menudo denotado como « $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

». El menor de los múltiplos comunes positivos de

se llama el «mínimo común múltiplo» de

, a menudo denotado como « $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$

».

Nota

mcd significa «máximo común divisor», y mcm significa «mínimo común múltiplo».

Por ejemplo, los divisores de

son «

», y los divisores de

son «

». Los divisores comunes de

son los compartidos «

», y el máximo común divisor es el mayor entre ellos, así que $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

También, los múltiplos positivos de

son «

$\dots$ », y los múltiplos positivos de

son «

$\dots$ ». Los múltiplos comunes positivos de

son los compartidos «

$\dots$ », y el mínimo común múltiplo es el menor entre ellos, así que $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$

Para enteros positivos

, existe una ley que dice « $\cdot$ $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$ $\cdot$ $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$ ». Por ejemplo, dado que « $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

» y « $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$

», sustituyendo en «

$\cdot$

$\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

$\cdot$ $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$

» se obtiene «

$\cdot$

», resultando en «

», lo cual es cierto. Usando esto, si conoces ya sea el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo, puedes calcular fácilmente el otro.

2.5Algoritmo de Euclides

Encontrar el máximo común divisor directamente toma tiempo, pero usar el «Algoritmo de Euclides» descrito a continuación lo hace más rápido.

Por ejemplo, encontrar el máximo común divisor de y usando el Algoritmo de Euclides es como sigue.

Generalmente, repetir la división es más fácil que listar los divisores comunes, haciendo este método conveniente.

3.Números Primos

Un entero

mayor o igual a

cuyos divisores positivos son solo y se llama un «número primo». Por ejemplo,

es un número primo porque sus divisores positivos son solo

no es un número primo porque tiene

como divisor además de

En otras palabras, un número primo es un entero mayor o igual a

que «no puede ser dividido por ningún entero positivo excepto ‘1 y sí mismo’». Los enteros mayores o iguales a

que no son números primos se llaman «números compuestos».

Listar los números primos en orden ascendente da «

$\dots$ ». Hay infinitos números primos. La aparición de los números primos parece ser irregular, y la investigación para capturar sus reglas ha continuado desde tiempos antiguos hasta el presente.

Los números primos pueden obtenerse usando un método llamado la «Criba de Eratóstenes». Este método usa el hecho de que «entre los enteros mayores o iguales a

, aquellos que no son múltiplos de otros números primos son números primos», y se realiza como sigue.

3.1Factorización en Primos

Todos los enteros positivos pueden expresarse como un producto de números primos. Por ejemplo, «

$\cdot$

», «

$\cdot$

», «

$\cdot$

», etc. Expresar un entero positivo como un producto de números primos de esta manera se llama «factorización en primos».

Cada número primo que aparece durante la factorización en primos se llama un «factor primo». Por ejemplo, dado que «

$\cdot$

», los factores primos de

son

Cualquier entero positivo siempre puede ser factorizado en primos, y el patrón está limitado a una sola manera si se ignora el orden de la multiplicación. Por ejemplo, usando potenciación, «

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{1}$

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{0}$

$^{1}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{2}$

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{0}$

$^{1}$ $\dots$ », «

$^{1}$

$^{0}$ $\dots$ ». Esta propiedad se llama el «Teorema Fundamental de la Aritmética» (o unicidad de la factorización en primos) y es útil para probar otros teoremas.

La razón por la cual

no se incluye en los números primos es que si

fuera incluido, «

$^{0}$

$^{1}$ $\dots$

$^{1}$

$^{1}$ $\dots$

$^{2}$

$^{1}$ $\dots$

$^{3}$

$^{1}$ $\dots$ », y la unicidad de la factorización en primos ya no se mantendría.

3.2Primos entre sí

Cuando dos enteros

no tienen ningún divisor común aparte de

, es decir, cuando $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

, se dice que

son «primos entre sí». Por ejemplo, dado que $\rm{m}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

son primos entre sí.

Decir que los enteros positivos

son «primos entre sí» es equivalente a decir que

«no tienen factores primos comunes». Por ejemplo, de

$\cdot$

no contienen factores primos comunes, así que pueden decirse primos entre sí.

4.Aritmética Modular

Ahora, volviendo al tema de los restos en la división, «el resto cuando

se divide por

es », y «el resto cuando

se divide por

es también », así que coinciden. Esto puede decirse como «en el mundo de los restos cuando los enteros se dividen por ,

es cierto». Cuando los restos divididos por

coinciden de esta manera, decimos « y son congruentes módulo » y escribimos « $\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ».

Generalmente, para un entero positivo

, cuando los restos de

coinciden, decimos « y son congruentes módulo » y escribimos « $\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ». Cuando no coinciden, escribimos « $\not\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ». Una expresión escrita de esta manera se llama una «congruencia» (o aritmética modular).

Por ejemplo, «el resto de

dividido por

» es el mismo que «el resto de

dividido por

», así que «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

». Por otro lado, «el resto de

dividido por

» es diferente del «resto de

dividido por

», así que «

$\not\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

».

Las congruencias tienen la propiedad de que se mantienen incluso si el mismo número se suma, resta o multiplica a ambos lados.

Por ejemplo, dado que «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

» es cierto, multiplicar ambos lados por

da «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

», que también es cierto.

5.Ecuaciones Diofánticas

Finalmente, tomemos un desafío específico aplicando las propiedades de los enteros introducidas hasta ahora. Es un problema llamado «ecuación diofántica».

Una «ecuación» es un problema para encontrar el valor de una variable que satisface una igualdad, tal como «Encontrar

que satisface

». El valor de la variable para el cual la igualdad es cierta se llama la «solución» de la ecuación.

Entre las ecuaciones, las «ecuaciones diofánticas» se refieren a aquellas donde la ecuación tiene infinitas soluciones (a menudo en los reales, pero típicamente buscamos soluciones enteras). Por ejemplo, «Encontrar la combinación de

que satisface

». En este caso, «

» y «

» son soluciones.

De esta manera, las ecuaciones diofánticas a menudo tienen infinitas soluciones, pero al agregar condiciones, el número de soluciones puede volverse finito. Miremos un problema que puede resolverse como un rompecabezas usando tales condiciones.

5.1Problema

Tomemos el siguiente problema específico de ecuación diofántica.

5.2Método de Resolución

Primero, construyamos la ecuación diofántica. Sea el entero de

dígitos

teniendo los dígitos

desde arriba. Por ejemplo, si

, entonces

. Entonces

puede expresarse como

Dado que invertirlo resulta en

veces el número original, se forma la siguiente ecuación.

El lado izquierdo es

veces

, y el lado derecho es el número invertido.

Tal como está, esta expresión contiene 4 variables y es una ecuación diofántica con potencialmente muchas soluciones, así que reduzcamos las soluciones usando varias condiciones.

5.3Encontrar el valor de a

Primero, si

sería de

dígitos o menos, así que debe ser

. También, si

$\geq$

, multiplicar por

resultaría en

dígitos o más, así que debe ser

. Es decir, es o bien o bien .

Aquí, si asumimos

, la ecuación se convierte en «

$\cdot$

», y el dígito de las unidades en el lado derecho es «1». El lado izquierdo es un entero multiplicado por

, pero no hay ningún entero que se convierta en 1 en el dígito de las unidades cuando se multiplica por 4 (debe ser par), así que los lados izquierdo y derecho nunca coinciden. En otras palabras, está claro que no existe solución cuando

. Por lo tanto, si existe una solución, es solo cuando .

5.4Encontrar el valor de d

Sustituyendo

, la ecuación se convierte en «

$\cdot$

». Aquí, el dígito de las unidades en el lado derecho es «

». Que el dígito de las unidades de un entero multiplicado por

se convierta en

sucede solo para «

$\cdot$

» y «

$\cdot$

», así que , que es el dígito de las unidades de , es o bien o bien .

, la ecuación es «

$\cdot$

», pero reorganizando esto da «

». Sustituir cualquier valor de

resulta en que

sea un número negativo, así que

$\neq$

. Por lo tanto, si existe una solución, es solo cuando .

5.5Encontrar los valores de b y c

Sustituyendo

, la ecuación se convierte en «

$\cdot$

». Transformando esto, obtenemos «

». Para que «

» sea un entero, probar valores de

para

muestra que es la única solución.

Sustituyendo

, obtenemos

$\cdot$

, así que .

Por lo tanto, de

, obtenemos . Calculando

$\cdot$

, obtenemos

, confirmando que «multiplicar por

resulta en el orden inverso del número original».

En esta lección, hemos introducido las propiedades básicas de los enteros. ¡La próxima vez, explicaremos los «números reales» y las «funciones» y los «mapas», que son importantes para manipular estos números!

Lección 3Números enteros

1.Números Enteros

1.1Potenciación

1.2Valor Absoluto

2.Propiedades de los Enteros

2.1Cociente y Resto

2.2Divisibilidad, Divisores y Múltiplos

2.3Divisores Comunes y Múltiplos Comunes

2.4Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

2.5Algoritmo de Euclides

3.Números Primos

3.1Factorización en Primos

3.2Primos entre sí

4.Aritmética Modular

5.Ecuaciones Diofánticas

5.1Problema

5.2Método de Resolución

5.3Encontrar el valor de a

5.4Encontrar el valor de d

5.5Encontrar los valores de b y c

Lección 3
Números enteros