2 de noviembre de 2025
Kuina-chan
¡En el episodio 4 de “Matemáticas de Kuina-chan”, te explico sobre funciones y aplicaciones que conectan números entre sí! Este episodio asume que has leído la serie en orden, comenzando por Episodio 1.
En el episodio 3, definimos los números enteros “\mathbb{Z}”. Esta vez, te hablaré sobre los números racionales “\mathbb{Q}” y los números reales “\mathbb{R}”, que incluyen los decimales, así como sobre funciones y aplicaciones.

1.Números racionales y reales

Hasta ahora hemos tratado con números enteros, pero ahora vamos a ver los más detallados números racionales y números reales. Estos son los llamados “decimales”.

1.1Números racionales


Los números que pueden expresarse como una fracción de entero sobre entero, con denominador distinto de 0, se llaman números racionales. Por ejemplo, “2/3”, “0/1” y “-5/4” son números racionales. El decimal “3,3333\dots” también es racional porque puede expresarse como la fracción “10/3”.
Llamaremos al conjunto de todos los números racionales como \mathbb{Q}. Es decir, “\mathbb{Q}=\{(2/3),(0/1),(-5/4),(3,3333\dots),\dots\}”.

1.2Conversión de decimales a fracciones


Por cierto, los decimales periódicos, como “1,23123123123\dots”, siempre pueden convertirse en fracciones de entero sobre entero, y por lo tanto son números racionales. Incluso “0,5” es racional porque se puede considerar como “0,5000\dots”.
Aquí te muestro cómo convertir un decimal periódico en fracción:
Conversión de decimales a fracciones
  • Sea x=1,23123123123\dots.
  • Multiplica ambos lados por una potencia de 10 para que un ciclo completo del decimal aparezca a la izquierda del punto decimal. Es decir, 1000x=1231,23123123123\dots.
  • Resta la ecuación original de esta nueva: 999x=1230.
  • Reorganiza la ecuación: x=1230/999=410/333, por lo tanto, 1,23123123123\dots=410/333.
Cualquier decimal periódico puede convertirse en fracción usando este método.

1.3Números irracionales


Por otro lado, los decimales no periódicos se llaman números irracionales. Estos no pueden expresarse como fracción de entero sobre entero. Ejemplos de números irracionales incluyen el número pi “3,1415926\dots” y el número cuya raíz cuadrada es 2, “1,41421356\dots”.
Los números racionales e irracionales juntos forman los números reales. El conjunto de todos los números reales se denota como \mathbb{R}.
Nota

En esta definición de “números reales” hemos usado el concepto algo ambiguo de “decimales”, pero también se puede definir de manera más rigurosa. Una forma de hacerlo es considerar que al colocar muchos números racionales muy cerca unos de otros, podemos acercarnos infinitamente a un número que no es racional. Ese número se define como irracional. Los números reales son la combinación de racionales e irracionales.

Todos los números naturales están contenidos dentro de los enteros. Todos los enteros están contenidos dentro de los racionales. Por lo tanto, la relación de inclusión entre los conjuntos de números que hemos visto hasta ahora es la siguiente:
Relación de inclusión entre conjuntos de números

Números naturales \mathbb{N} \subset Números enteros \mathbb{Z} \subset Números racionales \mathbb{Q} \subset Números reales \mathbb{R}

1.4Operaciones principales


Los números racionales y reales tienen definidas operaciones como suma “a+b”, resta “a-b”, multiplicación “a\cdotb”, potenciación “a^{b}”, valor absoluto “|a|”, y división “a/b” (siempre que b\neq0). Por ejemplo, “3/0” no está definido.
Además, los números reales tienen definida la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de x es el número y tal que x=y^{2}. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es “3 y -3” porque “9=3^{2}” y “9=(-3)^{2}”. De manera similar, la raíz cuadrada de 4 es “2 y -2”.
La raíz cuadrada positiva se denota como \sqrt{x}. Por ejemplo, “\sqrt{9}=3” y “\sqrt{4}=2”.
Extendiendo esto, el número y tal que x=y^{n} se llama la raíz n-ésima de x, y se denota como \sqrt[n]{x}. Por ejemplo, como “16=2^{4}”, entonces “\sqrt[4]{16}=2”.
Algunos valores de raíces cuadradas positivas son:
Valores de raíces cuadradas positivas
Raíz cuadrada positiva
\sqrt{0}=0
\sqrt{1}=1
\sqrt{2}=1,4142135623\dots
\sqrt{3}=1,7320508075\dots
\sqrt{4}=2
\sqrt{5}=2,2360679774\dots
\sqrt{6}=2,4494897427\dots
\sqrt{7}=2,6457513110\dots
\sqrt{8}=2,8284271247\dots
\sqrt{9}=3
Si graficamos la raíz cuadrada positiva y=\sqrt{x}, obtenemos una curva como la siguiente. Cuando x es menor que 0, no existe ningún número real cuyo cuadrado sea x, por lo tanto, \sqrt{x} no está definido.
Gráfico de la raíz cuadrada positiva
Gráfico de la raíz cuadrada positiva
Por cierto, \sqrt{2} es un número irracional. Vamos a demostrarlo, ya que es sencillo.
Demostración de número irracional
  • Supongamos que \sqrt{2} es racional.
  • Entonces, como \sqrt{2}>0, existe un par de enteros positivos a y b tal que \sqrt{2}=a/b.
  • Elevamos ambos lados al cuadrado: 2=a^{2}/b^{2}. Multiplicamos ambos lados por b^{2}: 2b^{2}=a^{2}.
  • Como a y b son enteros positivos, ambos lados son enteros positivos y pueden factorizarse en primos.
  • Al factorizar ambos lados, por la unicidad de la factorización en primos, los factores primos deben coincidir.
  • Al elevar a y b al cuadrado, el número de factores primos se duplica. Por lo tanto, el número de factores primos de 2b^{2} y a^{2} debe coincidir.
  • Sin embargo, el lado izquierdo tiene un número impar de factores de 2, mientras que el lado derecho tiene un número par. Esto es una contradicción.
  • Por lo tanto, la suposición de que \sqrt{2} es racional es falsa. Por el principio del tercero excluido, concluimos que \sqrt{2} es irracional. (Fin de la demostración)
Este tipo de demostración, donde se asume “\negp” y se llega a una contradicción para probar “p”, se llama reductio ad absurdum.

2.Ecuaciones polinómicas

2.1Ecuaciones de primer grado


Ahora vamos a resolver ecuaciones con números reales. Empecemos con un problema sencillo:
Problema de ecuación de primer grado
Problema

Encuentra todos los valores de x que satisfacen 2x-3=5.

Una ecuación de la forma “ax+b=0” (donde a\neq0) se llama ecuación de primer grado. Estas ecuaciones se resuelven fácilmente sumando o multiplicando ambos lados por el mismo número.
Solución del problema de ecuación de primer grado
  • Suma 3 a ambos lados: 2x=8.
  • Divide ambos lados por 2: x=4.
  • Por lo tanto, la solución es x=4.

2.2Ecuaciones de segundo grado


Ahora veamos un problema un poco más complicado:
Problema de ecuación de segundo grado
Problema

Encuentra todos los valores de x que satisfacen x^{2}+4x-12=0.

Una ecuación de la forma “ax^{2}+bx+c=0” (donde a\neq0) se llama ecuación de segundo grado. Estas ecuaciones se pueden resolver fácilmente si se pueden transformar en la forma “(x+a)(x+b)=0”.
Primero, expandamos “(x+a)(x+b)=0”. Usando la regla “p(q+r)=pq+pr”, obtenemos: “(x+a)(x+b)=(x+a)x+(x+a)b=x^{2}+ax+xb+ab=x^{2}+(a+b)x+ab”.
Comparando esto con la ecuación del problema “x^{2}+4x-12=0”, vemos que si “a+b=4” y “ab=-12”, entonces la ecuación se puede transformar. Buscando valores adecuados, encontramos que “a=6” y “b=-2” funcionan. Sustituyendo, obtenemos “x^{2}+(6+(-2))x+6(-2)=0”.
Esto se puede reescribir como “(x+6)(x-2)=0”. Para que el producto sea cero, al menos uno de los factores debe ser cero.
Si “x+6=0”, entonces “x=-6”. Si “x-2=0”, entonces “x=2”. Por lo tanto, las soluciones son x=-6 y x=2.

2.3Fórmula general para ecuaciones de segundo grado


Por cierto, las ecuaciones de segundo grado también pueden resolverse usando la fórmula general:
Fórmula general para ecuaciones de segundo grado
Fórmula general para ecuaciones de segundo grado
Como puedes ver, obtenemos las mismas soluciones.

3.Aplicaciones

Finalmente, te explico sobre funciones y aplicaciones.
Una aplicación es una correspondencia entre cada elemento de un conjunto y un elemento de otro conjunto. También se llama función. En el siguiente diagrama, las flechas que conectan los elementos representan una aplicación.
Aplicación
Aplicación
Si una aplicación f asigna elementos del conjunto \bm{A} a elementos del conjunto \bm{B}, se escribe como f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}. El elemento de \bm{B} correspondiente a un elemento a de \bm{A} se denota como f(a). Por ejemplo, si el elemento a_{1} se asigna al elemento b_{2}, entonces f(a_{1})=b_{2}.
En una aplicación “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}”, para cada elemento a de \bm{A}, existe exactamente un elemento f(a) en \bm{B}. No puede haber elementos sin correspondencia ni múltiples correspondencias.
También se pueden definir aplicaciones entre el mismo conjunto, como “f:\bm{A}\rightarrow\bm{A}”.
Por ejemplo, si tomamos el conjunto de números naturales \mathbb{N}, y definimos “f(x)=2x”, entonces tenemos una aplicación “f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}”.
Aplicación “f(x) = 2x”
Aplicación “f(x) = 2x”

3.1Sobreyectiva, inyectiva y biyectiva


En “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}”, si los elementos de \bm{A} cubren todos los elementos de \bm{B} sin omitir ninguno, entonces f es sobreyectiva. Formalmente, si el conjunto de todos los valores f(a) para a en \bm{A} coincide con el conjunto \bm{B}, entonces f es sobreyectiva.
Si cada elemento de \bm{A} se asigna a un elemento único y no repetido de \bm{B}, entonces f es inyectiva. Formalmente, si para cualquier par de elementos distintos a y b en \bm{A}, se cumple que f(a)\neqf(b), entonces f es inyectiva.
Si f es sobreyectiva e inyectiva, entonces es biyectiva. En este caso, los elementos de \bm{A} y \bm{B} están en correspondencia uno a uno.
Aquí tienes una imagen que resume estos conceptos:
Sobreyectiva, inyectiva, biyectiva
Sobreyectiva, inyectiva, biyectiva

3.2Aplicación inversa


La aplicación inversa de una aplicación f es aquella que invierte la dirección de correspondencia. Se denota como f^{-}^{1}. Formalmente, si tenemos aplicaciones “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}” y “g:\bm{B}\rightarrow\bm{A}”, y para todo a en \bm{A} se cumple “g(f(a))=a”, y para todo b en \bm{B} se cumple “f(g(b))=b”, entonces g es la aplicación inversa de f, es decir, “g=f^{-}^{1}”.
Por ejemplo, si definimos “f(x)=x+2” como una aplicación “f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}”, y “g(x)=x-2” como “g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}”, entonces g es la aplicación inversa de f.
Aplicación inversa
Aplicación inversa
Por cierto, si una aplicación f no es biyectiva, entonces no tiene aplicación inversa. Si f es biyectiva, entonces su aplicación inversa f^{-}^{1} existe y es única.
En este episodio, te he explicado sobre números reales y aplicaciones. ¡En el próximo episodio, te hablaré sobre figuras geométricas como triángulos y círculos!
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