9 de abril de 2026
Kuina-chan
Matemáticas de Kuina-chan ¡La Lección 4 explica las funciones y aplicaciones que conectan números! Se asume que has leído la Lección 1.
La Lección 3 definió los enteros “\mathbb{Z}”. Esta vez, explicaremos los números racionales “\mathbb{Q}” y los números reales “\mathbb{R}”, que son los llamados decimales, así como las funciones y aplicaciones.

1.Números Racionales y Números Reales

Hasta ahora, hemos tratado con enteros, pero de ahora en adelante trataremos con “números racionales” y “números reales” más detallados. Estos son lo que llamamos “decimales”.

1.1Números Racionales


Un número que se puede expresar como una fracción de “entero/entero”, donde el denominador es distinto de 0, se llama “número racional”. Por ejemplo, “2/3”, “0/1” y “-5/4” son números racionales. El decimal “3,3333\dots” también es un número racional porque se puede expresar como la fracción “10/3”.
En este momento, denotamos el conjunto de todos los números racionales como “\mathbb{Q}”. Es decir, “\mathbb{Q}=\{2/3semicolon0/1semicolon-5/4semicolon3,3333\dotssemicolon\dots\}”.

1.2Conversión de Decimal a Fracción


Por cierto, los decimales donde los dígitos se repiten como “1,23123123123\dots” siempre se pueden convertir en fracciones de “entero/entero”, por lo que son números racionales. “0,5” también es un número racional porque se repite como “0,5000\dots”.
El método para convertir un decimal periódico como “1,23123123123\dots” en una fracción es el siguiente.
Conversión de Decimal a Fracción
  • Sea x=1,23123123123\dots.
  • Multiplica ambos lados por una potencia de 10 para que un ciclo de la parte repetida del decimal aparezca a la izquierda de la coma decimal. Es decir, 1000x=123,23123123123\dots.
  • Resta la ecuación original x=1,23123123123\dots de esta ecuación. Es decir, 999x=1230.
  • Transformando la ecuación, obtenemos x=1230/999=410/333, así que 1,23123123123\dots=410/333.
Cualquier decimal periódico se puede convertir en una fracción utilizando este método.

1.3Números Irracionales


Por otro lado, los decimales no periódicos se llaman “números irracionales”. Los números irracionales no se pueden expresar como fracciones de “entero/entero”. Ejemplos de números irracionales incluyen Pi “3,1415926\dots” y el número que se convierte en 2 cuando se eleva al cuadrado, “1,41421356\dots”.
Los números racionales y los números irracionales juntos se llaman “números reales”. Denotamos el conjunto de todos los números reales como “\mathbb{R}”.
Suplemento

En esta definición de “números reales”, usamos el término vago “decimal”, pero se puede definir con más rigor. Hay varias formas de definirlo, pero en pocas palabras, si alineas infinitos números racionales, pueden acercarse arbitrariamente a algo. Ese número puede no ser un número racional, y lo definimos como un número irracional. Los números racionales y los números irracionales juntos son números reales.

Ahora, todos los números naturales están incluidos en los enteros. Además, todos los enteros están incluidos en los números racionales. Por lo tanto, la relación de inclusión de los números introducidos hasta ahora es la siguiente.
Relación de Inclusión de los Números Principales

Números naturales \mathbb{N} \subset Enteros \mathbb{Z} \subset Números racionales \mathbb{Q} \subset Números reales \mathbb{R}

1.4Operaciones Principales


Para los números racionales y los números reales, al igual que los enteros, se definen la suma “a+b”, la resta “a-b”, la multiplicación “a\cdotb”, la potenciación “a^{b}” y el valor absoluto “|a|” para dos números asemicolonb. Además, para b distinto de 0, también se define la división “a/b”. Sin embargo, si b es 0, por ejemplo “3/0”, es indefinido.
Además, se define la “raíz cuadrada” para los números reales. La “raíz cuadrada de x” es y que satisface “x=y^{2}”. Por ejemplo, las “raíces cuadradas de 9” son los dos números “3semicolon-3” porque “9=3^{2}” y “9=(-3)^{2}” son ciertos. De manera similar, las “raíces cuadradas de 4” son “2semicolon-2”.
De las raíces cuadradas, la que es 0 o mayor se llama “raíz cuadrada positiva” y se representa con el símbolo “\sqrt{x}”. Es decir, “\sqrt{9}=3” y “\sqrt{4}=2”.
Extendiendo esto, el valor de y que satisface “x=y^{n}” se llama la “raíz n-ésima de x”. Y la raíz n-ésima de x (donde x es 0 o superior) se expresa como “\sqrt[n]{x}”. Por ejemplo, ya que “16=2^{4}”, “\sqrt[4]{16}=2”.
Aquí hay algunos valores de raíces cuadradas positivas.
Valores de Raíces Cuadradas Positivas
Raíz Cuadrada Positiva
\sqrt{0}=0
\sqrt{1}=1
\sqrt{2}=1,4142135623\dots
\sqrt{3}=1,7320508075\dots
\sqrt{4}=2
\sqrt{5}=2,2360679774\dots
\sqrt{6}=2,4494897427\dots
\sqrt{7}=2,6457513110\dots
\sqrt{8}=2,8284271247\dots
\sqrt{9}=3
Si graficamos la raíz cuadrada positiva y=\sqrt{x}, se ve como la figura de abajo. Si x es menor que 0, no hay ningún número real que se convierta en x cuando se eleva al cuadrado, por lo que \sqrt{x} no está definida.
Gráfica de la Raíz Cuadrada Positiva
Gráfica de la Raíz Cuadrada Positiva
Por cierto, \sqrt{2} es un número irracional. Es simple, así que probémoslo.
Prueba de Número Irracional
  • A continuación, mostramos que si \sqrt{2} fuera un número racional, llevaría a una contradicción, probando por eliminación que \sqrt{2} es un número irracional.
  • Primero, asume que “\sqrt{2} es un número racional”. Entonces, a partir de la definición de números racionales y \sqrt{2}>0, se puede expresar como “\sqrt{2}=a/b” usando ciertos enteros positivos asemicolonb.
  • Eleva ambos lados al cuadrado para obtener “2=a^{2}/b^{2}”. Multiplica ambos lados por b^{2} para obtener “2b^{2}=a^{2}”.
  • Dado que asemicolonb son enteros positivos, ambos lados de “2b^{2}=a^{2}” son enteros positivos, y ambos lados pueden factorizarse en primos. Si factorizamos en primos ambos lados respectivamente, por la unicidad de la factorización en primos, los factores primos de ambos lados deben coincidir.
  • Cuando asemicolonb se elevan al cuadrado, el número de cada factor primo incluido se duplica, por lo que el número de 2 entre los factores primos de “b^{2}” y “a^{2}” es par respectivamente. Por lo tanto, entre los factores primos de “2b^{2}=a^{2}”, el número de 2 en el lado izquierdo es impar, y en el lado derecho es par, lo cual no coincide y es una contradicción.
  • Así, la proposición “\sqrt{2} es un número racional” se encuentra que es falsa, por lo que por la ley del tercero excluido, la proposición “\sqrt{2} no es un número racional” es verdadera. Es decir, \sqrt{2} es un número irracional. (Fin de la prueba)
De esta manera, el método de prueba de “asumir que \negp se cumple para derivar intencionalmente una contradicción, y probar p por eliminación” se llama “prueba por contradicción”.

2.Ecuaciones de Alto Grado

2.1Ecuaciones Lineales


Intentemos resolver ecuaciones de números reales. Primero, aquí hay un problema simple abajo.
Problema de Ecuación Lineal
Problema

Encuentra todo x que satisfaga 2x-3=5.

Una ecuación de la forma “ax+b=0 (donde a\neq0)” se llama “ecuación lineal”. Una ecuación lineal se puede resolver fácilmente simplemente sumando o multiplicando el mismo número a ambos lados.
Respuesta al Problema de Ecuación Lineal
  • Suma 3 a ambos lados de 2x-3=5 para obtener 2x=8.
  • Divide ambos lados de 2x=8 por 2 para obtener x=4.
  • Por lo tanto, x que satisface 2x-3=5 es 4.

2.2Ecuaciones Cuadráticas


El siguiente es un problema ligeramente más complejo abajo.
Problema de Ecuación Cuadrática
Problema

Encuentra todo x que satisfaga x^{2}+4x-12=0.

Una ecuación de la forma “ax^{2}+bx+c=0 (donde a\neq0)” se llama “ecuación cuadrática”. Una ecuación cuadrática se puede resolver fácilmente si se puede transformar en la forma “(x+a)(x+b)=0”, así que apuntamos a esta forma.
Primero, expande el lado izquierdo de la ecuación “(x+a)(x+b)=0”. Hay una regla “p(q+r)=pq+pr”, así que al aplicar esto repetidamente para eliminar los paréntesis, podemos transformarlo en “(x+a)(x+b)=(x+a)x+(x+a)b=x^{2}+ax+bx+ab=x^{2}+(a+b)x+ab”. Nos acercamos a la ecuación del problema.
Comparando esto “x^{2}+(a+b)x+ab=0” con la ecuación del problema “x^{2}+4x-12=0”, podemos ver que si ajustamos 4 en “a+b” y -12 en “ab”, podemos hacer la misma ecuación. Si pensamos en asemicolonb apropiados tal que “a+b=4” y “ab=-12”, encontramos que “a=6semicolonb=-2”. Ajustándolos, obtenemos “x^{2}+(6+(-2))x+6\cdot(-2)=0”.
Entonces, de los resultados hasta ahora, encontramos que la ecuación del problema “x^{2}+4x-12=0” se puede transformar en “x^{2}+(6+(-2))x+6\cdot(-2)=0”, y esto se puede transformar en “(x+6)(x+(-2))=0”. En otras palabras, en lugar de la ecuación del problema, encontremos x que satisfaga “(x+6)(x-2)=0”. Esto significa que multiplicar “x+6” y “x-2” da 0, por lo que al menos uno de ellos debe ser 0.
Considerando el caso donde “x+6” es 0, encontramos x=-6. Considerando el caso donde “x-2” es 0, encontramos x=2. Ambos no se convierten en 0 simultáneamente. Por lo tanto, estas son todas las soluciones. Es decir, x que satisface x^{2}+4x-12=0 es x=-6semicolon2.

2.3Fórmula Cuadrática


Por cierto, la solución a una ecuación cuadrática también se puede resolver con la siguiente fórmula llamada “fórmula cuadrática”.
Fórmula Cuadrática
Fórmula Cuadrática
De hecho, obtuvimos las mismas soluciones que antes.

3.Aplicaciones

Finalmente, resolveremos funciones y aplicaciones.
Una “aplicación” es algo que corresponde cada elemento de un cierto conjunto a un elemento de un cierto conjunto, y a veces se llama una “función”. En la figura de abajo, lo que corresponde a la colección de “flechas” conectando elementos es la aplicación.
Aplicación
Aplicación
Una aplicación f asociando un elemento del conjunto \bm{A} con un elemento del conjunto \bm{B} se expresa como “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}”. También en este momento, el elemento del conjunto \bm{B} correspondiente al elemento a del conjunto \bm{A} se expresa como “f(a)”. Por ejemplo, en esta figura, dado que el elemento b_{2} está asociado con el elemento a_{1}, se convierte en f(a_{1})=b_{2}.
Cuando “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}”, para cualquier elemento a del conjunto \bm{A}, existe exactamente un elemento correspondiente f(a) en el conjunto \bm{B}. Nunca sucede que no haya destino o múltiples destinos.
Además, una aplicación puede asociar entre el mismo conjunto. En otras palabras, puede ser “f:\bm{A}\rightarrow\bm{A}”.
Por ejemplo, para el conjunto de todos los números naturales \mathbb{N}, “f(x)=2x” que duplica el elemento x de \mathbb{N} se convierte en la aplicación “f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}”.
Aplicación de “f(x)=2x”
Aplicación de “f(x)=2x”

3.1Sobreyectiva, Inyectiva, Biyectiva


En “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}”, si los elementos de \bm{A} corresponden a todos los elementos de \bm{B} sin dejar ninguno fuera, f se llama una “sobreyección”. Estrictamente hablando, cuando la colección de f(a) para todos los elementos a del conjunto \bm{A} coincide con el conjunto \bm{B}, f es una sobreyección.
Además, cuando los elementos de \bm{B} correspondientes a cada elemento de \bm{A} no tienen duplicados, f se llama una “inyección”. Estrictamente hablando, para cualesquiera dos elementos diferentes asemicolonb de \bm{A}, si f(a) y f(b) son siempre diferentes, f es una inyección.
Cuando la aplicación f es tanto sobreyectiva como inyectiva, f se llama una “biyección”. En este momento, los elementos de \bm{A} y los elementos de \bm{B} corresponden exactamente uno a uno.
Las imágenes de sobreyección, inyección y biyección se resumen en la figura de abajo.
Sobreyectiva, Inyectiva, Biyectiva
Sobreyectiva, Inyectiva, Biyectiva

3.2Aplicación Inversa


La aplicación con la dirección de correspondencia invertida de la aplicación f se llama la “aplicación inversa” de f y se expresa como “f^{-}^{1}”. Estrictamente hablando, aunque es complicado de explicar, cuando dos aplicaciones “f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}” y “g:\bm{B}\rightarrow\bm{A}” siempre satisfacen “g(f(a))=a” para cualquier elemento a de \bm{A} y siempre satisfacen “f(g(b))=b” para cualquier elemento b de \bm{B}, g es la aplicación inversa de f “g=f^{-}^{1}”.
Por ejemplo, si consideramos la aplicación “f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}” definida por “f(x)=x+2” y la aplicación “g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}” definida por “g(x)=x-2”, dado que la dirección de correspondencia está invertida, podemos decir que g es la aplicación inversa de f “g=f^{-}^{1}”.
Aplicación Inversa
Aplicación Inversa
Por cierto, si la aplicación f no es una biyección, la aplicación inversa no existe para f. Además, si f es una biyección, la aplicación inversa f^{-}^{1} de f siempre existe, y solo hay un tipo.
Explicamos números reales y aplicaciones esta vez. ¡La próxima vez, explicaremos varias figuras como triángulos y círculos!
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