9 de abril de 2026
Kuina-chan
¡En la lección 1 de “Matemáticas de Kuina-chan”, explicaremos las reglas y convenciones de las matemáticas!

1.Axiomas, Teoremas y Demostraciones

En matemáticas, en términos generales, partimos de algunas premisas que se asumen como correctas y derivamos lógicamente cosas que se pueden decir que son correctas. Estas premisas correctas predeterminadas se llaman “axiomas”.
Además de los axiomas, se definen algunas reglas, y en matemáticas, usamos axiomas y estas reglas para derivar cosas correctas una tras otra.
Axiomas, Teoremas y Demostraciones
Axiomas, Teoremas y Demostraciones
Las cosas correctas recién derivadas, junto con los axiomas, se llaman “teoremas”, y el proceso de derivar un teorema se llama “demostración”.
Desde otra perspectiva, resolver un problema matemático es la tarea de encontrar una demostración de cómo la respuesta al problema se convierte en un teorema, utilizando los teoremas derivados hasta ahora.

2.Proposiciones y Fórmulas Lógicas

Ahora, los objetos que pueden ser juzgados en cuanto a si son teoremas o no, como “es 1+1=2” y “es 2+2=5”, se llaman “proposiciones”.
Hay varias formas de manejar las proposiciones, pero aquí, para simplificar, usaremos “Verdadero” y “Falso” de las fórmulas lógicas para expresar que “que una proposición sea un teorema es ‘Verdadero’, y que no sea un teorema es ‘Falso’”. Por ejemplo, si la proposición “es 1+1=2” es un teorema, entonces “es 1+1=2” es “Verdadero”. Si la proposición “es 2+2=5” no se convierte en un teorema, entonces “es 2+2=5” es “Falso”.
Proposiciones y Teoremas
Proposiciones y Teoremas
Suplemento

Las fórmulas que manejan Verdadero y Falso de esta manera se llaman “fórmulas lógicas”. Esta vez, decidimos usar el valor de verdad de las fórmulas lógicas para expresar si una proposición es un teorema, pero hay otras formas de expresar si una proposición es un teorema. Por ejemplo, una idea es considerar una proposición que siempre es Verdadera, llamada “tautología”, como un teorema.

En este momento, representaremos las proposiciones con letras como “p” y “q”. Luego, consideramos crear nuevas proposiciones combinándolas, como “si p entonces q” y “p y q”.
Por ejemplo, si p es la proposición “es 1+1=2” y q es la proposición “es 2+2=5”, al decir “p o q”, podemos crear la proposición “es 1+1=2, o, es 2+2=5”.
Creación de Proposiciones
Creación de Proposiciones
Por lo general, “o” se representa con el símbolo “\lor”, y “y” se representa con el símbolo “\land”, escritos como “p\lorq” y “p\landq”. Es decir, la proposición “es 1+1=2 o es 2+2=5” se puede escribir como “(1+1=2)\lor(2+2=5)”.
Por cierto, “p o q” significa que es Verdadero si p o q es Verdadero. Por ejemplo, si la proposición “es 1+1=2 o es 2+2=5” es Verdadera, significa que “1+1=2” o “2+2=5” es Verdadero. En otras palabras, el resultado de “p\lorq” es como se muestra en la siguiente tabla.
Resultado de la Disyunción Lógica
p q p\lorq
Falso Falso Falso
Falso Verdadero Verdadero
Verdadero Falso Verdadero
Verdadero Verdadero Verdadero
Por otro lado, “p y q” significa que es Verdadero si tanto p como q son Verdaderos. En otras palabras, el resultado de “p\landq” es como se muestra en la siguiente tabla.
Resultado de la Conjunción Lógica
p q p\landq
Falso Falso Falso
Falso Verdadero Falso
Verdadero Falso Falso
Verdadero Verdadero Verdadero
Por ejemplo, supongamos que “1+1=2” es Verdadero, es decir, un teorema, y “2+2=5” es Falso, es decir, no es un teorema. En este momento, “(1+1=2)\land(2+2=5)” se convierte en “Verdadero y Falso”, que es Falso, lo que significa que no es un teorema.
Suplemento

Para ser precisos, hemos decidido aquí que si una proposición creada usando “o” o “y” en una fórmula lógica es Verdadera, es un teorema. De ahora en adelante, decidiremos de manera similar que lo que se vuelve Verdadero en una fórmula lógica es un teorema.

3.Propiedades de las Fórmulas Lógicas

A partir de aquí, explicaremos varias propiedades de las fórmulas lógicas que son necesarias al demostrar teoremas.

3.1Negación, Principio del Tercero Excluido y Contradicción


Al expresar una proposición negativa “no es 1+1=2” frente a la proposición “es 1+1=2”, usamos el símbolo “\neg”. Para una proposición p, “no p” se escribe como “\negp”, y el resultado en ese momento es como se muestra en la siguiente tabla.
Resultado de la Negación Lógica
p \negp
Falso Verdadero
Verdadero Falso
De esta tabla, podemos ver que para cualquier proposición p, ya sea “p” o “\negp” es Verdadero, es decir, se convierte en un teorema. En otras palabras, no hay proposición donde ni “p” ni “\negp” sea un teorema. Esta ley de que “no hay proposición donde ni p ni \negp se convierta en un teorema” se llama el “principio del tercero excluido”.
Por otro lado, el hecho de que “tanto p como \negp son teoremas” se llama una “contradicción”. De esta tabla, también podemos ver que no hay proposición que cause una contradicción.
Al combinar el principio del tercero excluido y la contradicción, también podemos demostrar su negación causando intencionalmente una contradicción, como “si asumimos que p es un teorema, se contradice, por lo tanto \negp es un teorema”.

3.2Implicación Lógica


Como otro símbolo para fórmulas lógicas, está “p\Rightarrowq” que significa “si p entonces q”. Esta es una proposición de que “cuando p se cumple, q se cumple”.
Implicación Lógica
Implicación Lógica
El hecho de que la proposición “p\Rightarrowq” sea un teorema significa que siempre que “p es Verdadero”, “q también es Verdadero”.
En este momento, cuando “p es Falso”, no importa qué sea q. En otras palabras, cuando “p es Falso”, sin importar qué sea q, el hecho de que “p\Rightarrowq” sea un teorema no se anula, por lo que en este momento se puede decir que “p\Rightarrowq” es Verdadero.
Es decir, si p de “p\Rightarrowq” es Falso, “p\Rightarrowq” es Verdadero ya sea que q sea Verdadero o Falso. Es como se muestra en la siguiente tabla.
Resultado de la Implicación Lógica
p q p\Rightarrowq
Falso Falso Verdadero
Falso Verdadero Verdadero
Verdadero Falso Falso
Verdadero Verdadero Verdadero
Por ejemplo, cuando hay un teorema “si n=1, entonces n es un número impar”, no dice nada sobre el caso donde n no es 1, así que si n no es 1, ya sea que n sea un número par o un número impar, este teorema no se anulará. Por lo tanto, podemos entender que cuando “si Falso, entonces...”, esta proposición siempre debe ser Verdadera.

3.3Proposiciones Equivalentes


Ahora, cuando los valores de verdad de las proposiciones p,q siempre coinciden, se dice que p y q son “equivalentes”, y escribimos “p=q”.
Si q se convierte en un teorema cuando p es un teorema, y p se convierte en un teorema cuando q es un teorema, se puede decir que los valores de verdad de p y q coinciden, por lo que p y q son equivalentes. En otras palabras, escrito como una fórmula lógica, cuando “(p\Rightarrowq)\land(q\Rightarrowp)”, p y q son equivalentes. Por esta razón, “p=q” a veces se escribe con el símbolo “p\Leftrightarrowq”.
Si p y q son equivalentes, demostrar uno significa demostrar el otro también. El resultado de “p=q” es como se muestra en la siguiente tabla.
Equivalencia
p q p=q
Falso Falso Verdadero
Falso Verdadero Falso
Verdadero Falso Falso
Verdadero Verdadero Verdadero

3.4Recíproca, Inversa y Contrapositiva


Cuando hay una proposición en la forma de “p\Rightarrowq”, “q\Rightarrowp” con p y q invertidos se llama la proposición “recíproca”. Además, “(\negp)\Rightarrow(\negq)” con negación agregada a p y q se llama la “inversa”, y “(\negq)\Rightarrow(\negp)” que es tanto recíproca como inversa se llama la “contrapositiva”.
Recíproca, Inversa y Contrapositiva
Recíproca, Inversa y Contrapositiva
Entre estas, la contrapositiva es particularmente importante, y la contrapositiva es equivalente a la proposición original. Por ejemplo, para la proposición “si n=1, entonces n es un número impar”, la contrapositiva es “si n no es un número impar, entonces no es n=1”, y estas dos proposiciones son equivalentes.
En otras palabras, cuando desea demostrar una proposición, puede demostrar la proposición original demostrando la proposición contrapositiva en lugar de demostrar la proposición original.

3.5Leyes de De Morgan


Además, como una ley importante, están las “leyes de De Morgan”.
Las leyes de De Morgan son las leyes de que “\neg(p\landq)” y “(\negp)\lor(\negq)” son equivalentes, y “\neg(p\lorq)” y “(\negp)\land(\negq)” son equivalentes. Para desglosarlo, es una ley que cuando se eliminan los paréntesis de “\neg(\dots)”, el “\land” y el “\lor” en el interior se intercambian, y el “\neg” se distribuye.
Por ejemplo, la proposición “no es ‘n es un número par y n es 10 o más’” es lo mismo que decir “n no es un número par, o n no es 10 o más”. Además, “no es ‘n es un número par o n es 10 o más’” es lo mismo que decir “n no es un número par, y n no es 10 o más”.
Es útil cuando desea transformar y organizar proposiciones complejas.

4.Funciones Proposicionales

Para manejar una variedad más amplia de teoremas y proposiciones, profundicemos un poco más en las fórmulas lógicas.
Algo que se convierte en una proposición cuando recibe un valor del exterior se llama una “función proposicional”. Por ejemplo, para la descripción “es a+b=2”, si sustituye 1 por a y 3 por b, se convierte en la proposición “es 1+3=2”, por lo que “es a+b=2” es una función proposicional.
Funciones Proposicionales
Funciones Proposicionales
Además de valores específicos como “1” y “3”, las funciones proposicionales pueden tomar cosas como “todos los valores” y “algún valor”. Al agregar los símbolos “\forall” y “\exists” antes de letras como “x” y “y”, representan “todos los valores” y “existe algún valor”, respectivamente.
Por ejemplo, si encierra la función proposicional “es a=1” con \forallx y sustituye x por a y lo escribe como “\forallx(es x=1)”, representa la proposición “para todos los valores x, es x=1”. De manera similar, si lo encierra con \existsy y sustituye y por a y lo escribe como “\existsy(es y=1)”, se convierte en la proposición “existe algún valor y tal que es y=1”.
Ejemplos de Funciones Proposicionales
Ejemplos de Funciones Proposicionales
Como ejemplo específico, supongamos que hay una función proposicional “a+b=2”, y la proposición “1+1=2” con 1 sustituido por a y b es Verdadera, y la proposición “1+3=2” con 1 sustituido por a y 3 por b es Falsa.
En este momento, debido a que hay “1+3=2”, “a+b=2” no se vuelve Verdadero para todos los a y b. Por lo tanto, “\forallx(\forally(x+y=2))” es Falso. Además, debido a que hay “1+1=2”, existen al menos algunos a y b tales que “a+b=2” se vuelve Verdadero. Por lo tanto, “\existsx(\existsy(x+y=2))” es Verdadero.

5.Lógica Intuicionista

Finalmente, presentaré brevemente una forma diferente de pensar llamada “lógica intuicionista”.
Hasta ahora, hemos asumido el “principio del tercero excluido”, que establece que cuando hay proposiciones p y \negp, al menos una de ellas es un teorema, pero la lógica intuicionista no usa este principio del tercero excluido. En otras palabras, con la lógica hasta ahora, podríamos decir “No sé si te gustan las matemáticas, pero o te gustan las matemáticas o no te gustan”, pero con la lógica intuicionista, ni siquiera podemos decir esto, y se convierte en “Ni siquiera sé si o te gustan las matemáticas o no te gustan”. Considera la posibilidad de que no sepamos si se puede demostrar.
Si no asumimos el principio del tercero excluido, muchos teoremas no se pueden demostrar, por lo que la lógica intuicionista no es la corriente principal en muchos campos de las matemáticas, pero es altamente compatible y a menudo se usa en campos que apuntan a la lógica en sí y a la informática.
Esta vez, explicamos las reglas básicas de las matemáticas. ¡La próxima vez, demostremos realmente un teorema a partir de axiomas específicos!
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