Episodio 1
Axiomas y demostraciones

En matemáticas, partimos de algunos supuestos que consideramos verdaderos, y a partir de ellos deducimos lógicamente otras afirmaciones que también consideramos verdaderas. Estos supuestos previamente establecidos se llaman “axiomas”.

Además de los axiomas, se definen algunas reglas, y usando los axiomas y estas reglas, vamos deduciendo nuevas afirmaciones verdaderas.

Las afirmaciones verdaderas que se deducen se llaman “teoremas”, y el proceso de deducir un teorema se llama “demostración”.

Desde otro punto de vista, resolver un problema matemático significa encontrar una demostración que muestre que la respuesta al problema se convierte en un teorema usando los teoremas ya deducidos.

Ahora, afirmaciones como “ es verdadero” o “ es verdadero”, que pueden ser evaluadas como teoremas o no, se llaman “proposiciones”.

Hay varias formas de tratar las proposiciones, pero aquí usaré la verdad o falsedad de las expresiones lógicas para facilitar la comprensión. Es decir, si una proposición es un teorema, la consideraremos “verdadera”, y si no lo es, “falsa”. Por ejemplo, si “ es verdadero” es un teorema, entonces esa proposición es verdadera. Si “ es verdadero” no es un teorema, entonces esa proposición es falsa.

Representaremos las proposiciones como “”, “”, etc., y pensaremos en combinarlas para formar nuevas proposiciones como “si , entonces ” o “ y ”.

Por ejemplo, si es la proposición “ es verdadero” y es “ es verdadero”, entonces “ o ” representa la proposición “ es verdadero, o es verdadero”.

Normalmente, “o” se representa con el símbolo “”, y “y” con “”, escribiéndose como “” o “”. Por lo tanto, la proposición “ o ” se puede escribir como “”.

“ o ” significa que si al menos uno de ellos es verdadero, entonces la proposición es verdadera. Por ejemplo, si “ o ” es verdadero, significa que al menos una de las dos proposiciones es verdadera. Entonces, el resultado de “” se muestra en la siguiente tabla:

Por otro lado, “ y ” significa que ambos deben ser verdaderos para que la proposición sea verdadera. Entonces, el resultado de “” se muestra en la siguiente tabla:

Por ejemplo, si “” es verdadero (es un teorema) y “” es falso (no es un teorema), entonces “” es “verdadero y falso”, lo cual es falso, y por lo tanto no es un teorema.

A partir de aquí, te explicaré varias propiedades de las expresiones lógicas que son necesarias para demostrar teoremas.

Para expresar la negación de una proposición como “ no es verdadero”, usamos el símbolo “”. Para una proposición , “no ” se escribe como “”, y su resultado se muestra en la siguiente tabla:

Esta tabla muestra que, para cualquier proposición , al menos una de “” o “” es verdadera, es decir, es un teorema. Esta regla se llama “ley del tercero excluido”.

Por otro lado, si tanto “” como “” son verdaderas, eso se llama “contradicción”. Esta tabla también muestra que no existen proposiciones que generen contradicciones.

Combinando la ley del tercero excluido y la contradicción, podemos demostrar una negación provocando una contradicción, como en “si es un teorema, entonces se genera una contradicción, por lo tanto, es un teorema”.

Otro símbolo importante es “”, que significa “si , entonces ”. Esta proposición significa que si es verdadero, entonces también lo es.

Cuando es falso, no importa si es verdadero o falso; “” sigue siendo verdadero.

Es decir, cuando es falso, “” siempre es verdadero, como se muestra en la siguiente tabla:

Por ejemplo, si tenemos el teorema “si , entonces es impar”, no dice nada sobre los casos en que no es igual a . Por lo tanto, si no es igual a , no importa si es par o impar, el teorema no se ve afectado.

Si las proposiciones y siempre tienen el mismo valor de verdad, se dice que son “equivalentes”, y se escribe “”.

Si es un teorema cuando lo es, y viceversa, entonces y son equivalentes. En expresiones lógicas, esto se escribe como “”. Por eso, “” también se puede escribir como “”.

Si y son equivalentes, demostrar uno de ellos implica que el otro también está demostrado.

Dada una proposición de la forma “”, la proposición “” se llama “inversa”, “” se llama “contrarrecíproca”, y “” se llama “contrapositiva”.

La contrapositiva es especialmente importante, ya que es equivalente a la proposición original. Por ejemplo, para la proposición “si , entonces es impar”, su contrapositiva es “si no es impar, entonces no es igual a ”. Estas dos proposiciones son equivalentes.

Por lo tanto, para demostrar una proposición, podemos demostrar su contrapositiva en lugar de la original.

Otra ley importante es la “ley de De Morgan”.

Esta ley establece que “” es equivalente a “”, y “” es equivalente a “”. En otras palabras, al quitar los paréntesis de “”, los operadores “” y “” se intercambian, y “” se distribuye.

Por ejemplo, la proposición “no es cierto que sea par y que sea mayor o igual a ” es equivalente a “ no es par o no es mayor o igual a ”. Asimismo, “no es cierto que sea par o que sea mayor o igual a ” es equivalente a “ no es par y no es mayor o igual a ”.

Estas leyes son útiles para transformar y simplificar proposiciones complejas.

Para tratar teoremas y proposiciones más diversos, vamos a profundizar un poco más en las expresiones lógicas.

Una expresión que se convierte en una proposición al recibir valores externos se llama “función proposicional”. Por ejemplo, la expresión “ es verdadero” se convierte en la proposición “ es verdadero” al sustituir por y por , por lo tanto, “ es verdadero” es una función proposicional.

En las funciones proposicionales, además de valores concretos como “” o “”, podemos usar “todos los valores” o “algún valor”. Esto se representa anteponiendo los símbolos “” y “” a las variables “”, “”, etc., para indicar “para todos los valores” y “existe al menos un valor”, respectivamente.

Por ejemplo, si tomamos la función proposicional “ es verdadero” y sustituimos por , escribiendo “ es verdadero”, obtenemos la proposición “para todo valor , es verdadero”. De manera similar, si sustituimos por y escribimos “ es verdadero”, obtenemos la proposición “existe al menos un valor tal que es verdadero”.

Como ejemplo, si la función proposicional “” da lugar a la proposición “” (verdadera) al sustituir y por , y a “” (falsa) al sustituir por y por , entonces:

Como “” es falsa, no todas las combinaciones de y hacen que “” sea verdadera. Por lo tanto, “” es falsa. Pero como “” es verdadera, existe al menos una combinación de y que hace que “” sea verdadera. Por lo tanto, “” es verdadera.

Finalmente, te presento brevemente una forma de pensar diferente llamada “lógica intuicionista”.

Hasta ahora, hemos asumido la “ley del tercero excluido”, que dice que para una proposición y su negación , al menos una de ellas es verdadera. Pero en la lógica intuicionista, no se usa la ley del tercero excluido. Por ejemplo, en la lógica tradicional podríamos decir “no sabemos si te gusta o no te gusta las matemáticas, pero es cierto que te gusta o no te gusta”. Sin embargo, en la lógica intuicionista, ni siquiera podemos decir eso. En cambio, decimos “no sabemos si te gusta o no te gusta las matemáticas, ni siquiera sabemos si una de esas dos afirmaciones es cierta”. Esto considera la posibilidad de que no sepamos si algo puede ser demostrado.

Como muchas demostraciones se vuelven imposibles sin asumir la ley del tercero excluido, la lógica intuicionista no es predominante en la mayoría de las ramas de las matemáticas. Sin embargo, en campos como la lógica misma o la informática, la lógica intuicionista es muy compatible y se utiliza con frecuencia.

En este artículo, te he explicado las reglas básicas de las matemáticas. En el próximo episodio, ¡vamos a demostrar teoremas concretos a partir de axiomas!