Lección 2 Conjuntos y números naturales - Matemáticas de Kuina-chan

9 de abril de 2026

Kuina-chan

“Matemáticas de Kuina-chan” ¡En la Lección 2, explicaremos los conceptos básicos de las matemáticas y el flujo de la demostración a través de “

”! Se asume que has leído la Lección 1.

Lección 1 explicó las reglas básicas de las matemáticas.

Esta vez, demostraremos “” a partir de axiomas concretos. Pero antes de eso, me gustaría explicar el elemento más fundamental de las matemáticas, el “Conjunto”. En matemáticas, básicamente todo, empezando por números como “

”, se considera que está hecho de “Conjuntos”.

1.Teoría de conjuntos ingenua

1.1Conjuntos y Elementos

Un “Conjunto” es una “colección de varias cosas”. “Varias cosas” es vago, pero históricamente, los conjuntos comenzaron a partir de tal comprensión vaga. Finalmente, se definirá rigurosamente.

Además, estas “varias cosas” se llaman “Elementos”. Y cuando un elemento

está dentro de un conjunto $\bm{X}$ , decimos que el elemento

“pertenece a” el conjunto $\bm{X}$ y escribimos “ $\in$ $\bm{X}$ ”.

En esta figura, el elemento

pertenece al conjunto $\bm{X}$ , por lo que es “ $\in$ $\bm{X}$ ”. Por otro lado, el elemento

y el elemento

no pertenecen al conjunto $\bm{X}$ , y en tales casos donde no pertenecen, escribimos “ $\notin$ $\bm{X}$ ” y “ $\notin$ $\bm{X}$ ”.

1.2Notación por extensión y por comprensión

Hay dos formas de expresar qué elementos pertenecen a un conjunto. Son la “Notación por extensión” y la “Notación por comprensión”.

“Notación por extensión” es un método de listar los elementos que pertenecen al conjunto. Por ejemplo, cuando los elementos “Perro”, “Gato” y “Conejo” pertenecen al conjunto $\bm{X}$ , en notación por extensión escribimos “ $\bm{X}$ $\{$ PerroGatoConejo $\}$ ”.

“Notación por comprensión” es un método de describir las propiedades de los elementos. Por ejemplo, cuando todos los animales pertenecen al conjunto $\bm{X}$ , en notación por comprensión escribimos “ $\bm{X}$ $\{$ es un animal $\}$ ”. Aquí usamos el símbolo

, pero puedes usar cualquier símbolo y escribir “ $\{$ símbolocondición usando el símbolo $\}$ ”, lo que significa el conjunto de todas las cosas que satisfacen esa condición.

Puedes usar la notación por extensión o la notación por comprensión, y se usa la que se pueda expresar de manera más concisa.

1.3Subconjunto e Igualdad

A continuación, expliquemos la relación entre conjuntos. Por ejemplo, si “ $\bm{X}$

$\{$ Perro semicolon

Gato

Conejo $\}$ ” y “ $\bm{Y}$

$\{$ Perro semicolon

Gato $\}$ ”, todos los elementos de $\bm{Y}$ son elementos de $\bm{X}$ . En este caso, decimos que el conjunto $\bm{Y}$ está “contenido en” el conjunto $\bm{X}$ (o es un subconjunto de $\bm{X}$ ) y escribimos “ $\bm{Y}$ $\subset$ $\bm{X}$ ”.

“Pertenece a ( $\in$ )” y “Contenido en ( $\subset$ )” se parecen en símbolo y significado, pero debes tener cuidado de no confundirlos. “Pertenece a” es la relación entre un elemento y un conjunto, mientras que “Contenido en” es la relación entre conjuntos.

Nota

Dado que casi todo se trata como conjunto en las matemáticas modernas, generalmente los elementos de un conjunto también son conjuntos, por lo que la distinción entre “pertenece a” y “contenido en” es complicada. “El conjunto Y pertenece al conjunto X” significa que el conjunto Y es uno de los elementos del conjunto X, mientras que “El conjunto Y está contenido en el conjunto X” significa que todos los elementos del conjunto Y aparecen en los elementos del conjunto X.

Además, cuando coinciden todos los elementos entre el conjunto $\bm{X}$ y el conjunto $\bm{Y}$ , decimos que el conjunto $\bm{X}$ y el conjunto $\bm{Y}$ son “iguales” y escribimos “ $\bm{X}$ $\bm{Y}$ ”. Si no son iguales, escribimos “ $\bm{X}$ $\neq$ $\bm{Y}$ ”. El orden de los elementos en un conjunto no importa, y los elementos duplicados se consideran como uno solo. Es decir, si “ $\bm{X}$

$\{$ Perro semicolon

Gato

Conejo $\}$ ” y “ $\bm{Y}$

$\{$ Conejo semicolon

Gato

Perro

Perro $\}$ ”, entonces “ $\bm{X}$

$\bm{Y}$ ” se cumple.

Los símbolos “

” y “ $\neq$ ” también se usan al comparar elementos. Si el elemento

y el elemento

son la misma cosa, escribimos “

”, y si son diferentes, escribimos “

$\neq$

”.

1.4Conjuntos de conjuntos

Ahora, también podemos considerar “un conjunto cuyos elementos son conjuntos”. Por ejemplo, un conjunto con “Perro” como elemento es “ $\{$ Perro $\}$ ”, pero un conjunto con este conjunto como elemento es “ $\{$ $\{$ Perro $\}$ $\}$ ”.

Por ejemplo, si “Conjunto $\bm{X}$

$\{$ $\{$ Perro $\}$ semicolon

$\{$ Gato $\}$ $\}$ ”, “Conjunto $\bm{Y}$

$\{$ $\{$ Perro $\}$ $\}$ ” y “Conjunto $\bm{Z}$

$\{$ Perro $\}$ ”, entonces “ $\bm{Y}$ $\subset$ $\bm{X}$ ” y “ $\bm{Z}$ $\in$ $\bm{X}$ ”. Por favor, presta atención a si es una relación entre un elemento y un conjunto, o una relación entre conjuntos.

1.5Unión e Intersección

En la explicación de las proposiciones en la Lección 1, explicamos “o ( $\lor$ )” e “y ( $\land$ )”, y los conjuntos tienen cosas similares. En conjuntos, “o” se representa con el símbolo “ $\cup$ ”, e “y” se representa con el símbolo “ $\cap$ ”. Para el conjunto $\bm{X}$ y $\bm{Y}$ , escribimos como “ $\bm{X}$ $\cup$ $\bm{Y}$ ” y “ $\bm{X}$ $\cap$ $\bm{Y}$ ”.

Por ejemplo, definamos el conjunto $\bm{X}$ que recopila “cosas dulces” como “ $\bm{X}$

$\{$ Miel

Azúcar

Pomelo $\}$ ”, y el conjunto $\bm{Y}$ que recopila “cosas ácidas” como “ $\bm{Y}$

$\{$ Vinagre semicolon

Limón

Pomelo $\}$ ”. En este caso, “cosas dulces o cosas ácidas” se convierte en “ $\bm{X}$ $\cup$ $\bm{Y}$

$\{$ Miel

Azúcar

Pomelo

Vinagre

Limón $\}$ ”, y “cosas dulces y cosas ácidas” se convierte en “ $\bm{X}$ $\cap$ $\bm{Y}$

$\{$ Pomelo $\}$ ”.

En otras palabras, “ $\cup$ ” se puede decir que es algo que combina conjuntos, y “ $\cap$ ” se puede decir que es algo que extrae la parte común de los conjuntos.

1.6Conjunto vacío

Un conjunto sin elementos existe y se llama “Conjunto vacío”, representado por el símbolo “ $\emptyset$ ”. Por ejemplo, cuando no hay elementos en el conjunto $\bm{X}$ , es “ $\bm{X}$

$\emptyset$ ”. Este símbolo se parece a la letra griega “ $\phi$ (fi)”, pero es un símbolo diferente.

“ $\emptyset$ ” y “ $\{$ $\emptyset$ $\}$ ” son conjuntos diferentes. “ $\emptyset$ ” es un conjunto sin elementos, pero “ $\{$ $\emptyset$ $\}$ ” es un conjunto que tiene “ $\emptyset$ ” como elemento.

2.Números naturales

Ahora bien, para demostrar “

”, definamos los “Números naturales” usando conjuntos.

Los “Números naturales” son una serie de números que continúan infinitamente como “

$\dots$ ”. Incluir o no el “

” en los números naturales depende de la escuela de pensamiento. En la matemática moderna, a menudo se incluye, pero en el campo de la teoría de números, la salvedad “excepto

” aparece con frecuencia, por lo que a menudo no se incluye. Esta vez, lo incluiremos.

Definamos el conjunto de todos los números naturales $\mathbb{N}$ . Para la definición de $\mathbb{N}$ , podría parecer suficiente decir, por ejemplo, “ $\mathbb{N}$

$\{$

$\dots$ $\}$ ”. Sin embargo, esto se basa en la premisa de que sabemos que continúa como “

$\dots$ ” a continuación, por lo que no se puede llamar una definición rigurosa. Por lo tanto, esta vez, adoptaremos lo que se llama los “Axiomas de Peano” como la definición de los números naturales.

Según los “Axiomas de Peano”, los “Números naturales” son cosas que satisfacen la siguiente estructura.

Desglosándolo, partiendo de “

”, conectando infinitamente como “el sucesor de

”, “el sucesor de

”, y sin tener ramificaciones ni bucles es lo que llamamos “Números naturales”. Ilustrando los contenidos de (1) a (5) de esta definición se ve como sigue.

(3) y (4) eliminan ramificaciones y bucles, y (5) elimina secuencias distintas de “

$\dots$ ”. De esta figura, puedes ver que excluye otros casos para que los números naturales se conviertan en un solo camino como “

$\dots$ ”.

Ahora, consideramos todo lo que satisface tal “estructura” como números naturales. El punto importante no es que los “Números naturales” existan concretamente, sino que cuando algo concreto tiene tal “estructura”, lo llamamos un número natural. Percibiéndolo de esta manera, podemos tratar varias cosas como números naturales.

Entonces, construyamos números naturales usando solo conjuntos. Como se explicó al principio, los conjuntos son los elementos básicos de las matemáticas, por lo que si podemos construir la estructura de los números naturales con solo conjuntos, los números naturales también pueden tratarse como elementos de las matemáticas.

Por ejemplo, si representamos

como el conjunto vacío “ $\emptyset$ ”, y para un número

, representamos el sucesor como “ $\{$ $\}$ ”, podemos definir “

$\dots$ ” como “ $\emptyset$

”, “ $\{$ $\emptyset$ $\}$

”, “ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

”, “ $\{$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$ $\}$

”, “ $\{$ $\{$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$ $\}$ $\}$

”. Esto satisface cada condición de los axiomas de Peano. Por lo tanto, podemos decir que esto es un número natural.

Como otro ejemplo, si representamos

como el conjunto vacío “ $\emptyset$ ”, y para un número

, representamos el sucesor como “ $\cup$ $\{$ $\}$ ”, va como “ $\emptyset$

”, “ $\emptyset$ $\cup$ $\{$ $\emptyset$ $\}$

$\{$ $\emptyset$ $\}$

$\{$

$\}$

”, “ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\cup$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

$\{$ $\emptyset$ semicolon

$\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

$\{$

$\}$

”, “(omitido)

$\{$

$\}$

”, “ $\{$

$\}$

”. Esto también satisface los axiomas de Peano, por lo que podemos decir que esto también es un número natural.

De esta manera, los números naturales pueden construirse a partir de conjuntos de muchas maneras. Específicamente qué método se usó para construir números naturales no es importante, cualquier método sirve siempre que satisfaga los axiomas de Peano. En adelante, representaremos los números naturales construidos de esta manera como el conjunto “ $\mathbb{N}$ $\{$ $\dots$ $\}$ ”.

3.Teoría axiomática de conjuntos

3.1La paradoja de Russell

Hasta ahora, hemos avanzado con la charla algo intuitivamente, pero la lógica estricta revela que manejar conjuntos intuitivamente así colapsa. Un ejemplo de eso es la “Paradoja de Russell”. La Paradoja de Russell es como sigue.

Primero, considera el conjunto “Palabras” que recopila todo lo que es una palabra. En este caso, “Palabras” en sí mismo también es una palabra, por lo que pertenece a este conjunto. Es decir, se vuelve como “Palabras

$\{$ Perro semicolon

Manzana

Palabras

$\dots$ $\}$ ”.

A continuación, considera el conjunto “Emojis” que recopila todo lo que es un emoji. En este caso, “Emojis” en sí mismo no es un emoji, por lo que no pertenece a este conjunto. Es decir, se vuelve como “Emojis

$\{$

$\dots$ $\}$ ”.

Pensando de esta manera, los conjuntos se pueden dividir en dos tipos: aquellos como “Palabras” donde “el conjunto mismo pertenece al conjunto”, y aquellos como “Emojis” donde “el conjunto mismo no pertenece al conjunto”.

Aquí, consideremos el conjunto que recopila todos los “conjuntos que no se pertenecen a sí mismos”. Dado que “Emojis” era un “conjunto que no se pertenece a sí mismo”, se convierte en “Conjunto de conjuntos que no se pertenecen a sí mismos $\{$ Emojis $\dots$ $\}$ ”. Ahora, ¿este conjunto se pertenece a sí mismo? Es decir, ¿se convierte en “Conjunto de conjuntos que no se pertenecen a sí mismos $\{$ EmojisConjunto de conjuntos que no se pertenecen a sí mismos $\dots$ $\}$ ”?

Si asumimos que se pertenece a sí mismo, es un “conjunto que no se pertenece a sí mismo” pero pertenece, así que es una contradicción. Además, si asumimos que no se pertenece a sí mismo, satisface la condición “conjunto que no se pertenece a sí mismo”, por lo que debería pertenecer a este conjunto, lo cual también es una contradicción.

Como se explicó en la Lección 1, una proposición debe ser verdadera o falsa, por lo que tal pregunta no puede ser una proposición. En otras palabras, si admitimos un conjunto como “el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos”, conduce a un colapso lógico.

3.2Teoría axiomática de conjuntos

Por lo tanto, surgió un movimiento para definir conjuntos no por definiciones intuitivas como “una colección de cosas” sino por “axiomas” que determinan rigurosamente qué es un conjunto. Esto se llama “Teoría axiomática de conjuntos”. La intuitiva se llama “Teoría de conjuntos ingenua”.

4.Axiomas de la Adición

Ahora, finalmente, demostremos “”. A los números naturales definidos hasta ahora, agregamos los siguientes axiomas.

A esto se le llama los “Axiomas de la Adición”. Usando este axioma, podemos demostrar “

”. Es como sigue.

Solo aplicando mecánicamente los axiomas de la adición, se deriva “

” de “

”. De manera similar, puedes verificar que “

”, “

”, etc. se pueden demostrar, así que por favor inténtalo.

Esta vez, definimos los números naturales usando conjuntos y demostramos “

” usando los axiomas de la adición. ¡La próxima vez, hablaremos sobre varios números incluyendo “enteros” que incluyen números negativos en los números naturales!

Lección 2Conjuntos y números naturales

1.Teoría de conjuntos ingenua

1.1Conjuntos y Elementos

1.2Notación por extensión y por comprensión

1.3Subconjunto e Igualdad

1.4Conjuntos de conjuntos

1.5Unión e Intersección

1.6Conjunto vacío

2.Números naturales

3.Teoría axiomática de conjuntos

3.1La paradoja de Russell

3.2Teoría axiomática de conjuntos

4.Axiomas de la Adición

Lección 2
Conjuntos y números naturales