Episodio 2 Conjuntos y números naturales - Matemáticas de Kuina-chan

16 de septiembre de 2025

Kuina-chan

En el segundo episodio de “Matemáticas de Kuina-chan”, voy a explicar los fundamentos de las matemáticas y el flujo de una demostración a través de “”. Este episodio asume que has leído la serie en orden, comenzando por Episodio 1.

En el primer episodio, expliqué las reglas básicas de las matemáticas.

Esta vez, vamos a demostrar “” a partir de axiomas concretos. Pero antes de eso, quiero hablar sobre el elemento más fundamental de las matemáticas: los “conjuntos”. En matemáticas, se considera que casi todo, incluidos los números como

, está compuesto por conjuntos.

1.Teoría ingenua de conjuntos

1.1Conjuntos y elementos

Un “conjunto” es una “colección de varios elementos”. Aunque “varios elementos” suena vago, históricamente los conjuntos comenzaron con esta idea ambigua. Finalmente, se definen rigurosamente.

A estos “varios elementos” se les llama “elementos”. Cuando un elemento

pertenece a un conjunto $\bm{X}$ , se dice que el elemento

“pertenece” al conjunto $\bm{X}$ , y se escribe “ $\in$ $\bm{X}$ ”.

En esta imagen, el elemento

pertenece al conjunto $\bm{X}$ , por lo que “ $\in$ $\bm{X}$ ”. Por otro lado, los elementos

no pertenecen al conjunto $\bm{X}$ , así que se escribe “ $\notin$ $\bm{X}$ ” y “ $\notin$ $\bm{X}$ ”.

1.2Notación extensional e intensional

Hay dos formas de expresar qué elementos pertenecen a un conjunto: la notación extensional y la notación intensional.

La “notación extensional” consiste en enumerar los elementos que pertenecen al conjunto. Por ejemplo, si el conjunto $\bm{X}$ contiene los elementos “Perro”, “Gato” y “Conejo”, se escribe “ $\bm{X}$ $\{$ PerroGatoConejo $\}$ ”.

La “notación intensional” consiste en describir las propiedades de los elementos. Por ejemplo, si el conjunto $\bm{X}$ contiene todos los animales, se escribe “ $\bm{X}$ $\{$ es un animal $\}$ ”. Aquí usamos el símbolo

, pero puedes usar cualquier símbolo y escribir “ $\{$ símbolocondición usando el símbolo $\}$ ”, lo que significa que el conjunto contiene todos los elementos que cumplen esa condición.

Puedes usar cualquiera de las dos notaciones, y se elige la que sea más concisa.

1.3Inclusión e igualdad

A continuación, explicaré la relación entre conjuntos. Por ejemplo, si “ $\bm{X}$

$\{$ Perro

Gato

Conejo $\}$ ” y “ $\bm{Y}$

$\{$ Perro

Gato $\}$ ”, todos los elementos de $\bm{Y}$ también están en $\bm{X}$ . En este caso, se dice que el conjunto $\bm{Y}$ está “incluido” en el conjunto $\bm{X}$ , y se escribe “ $\bm{Y}$ $\subset$ $\bm{X}$ ”.

“Pertenecer ( $\in$ )” y “estar incluido ( $\subset$ )” son similares en símbolos y significado, pero es importante no confundirlos. “Pertenecer” describe la relación entre un elemento y un conjunto, mientras que “estar incluido” describe la relación entre dos conjuntos.

Nota

En las matemáticas modernas, casi todo se trata como conjuntos, por lo que los elementos de un conjunto también suelen ser conjuntos. Esto hace que la distinción entre “pertenecer” e “incluir” sea un poco complicada. “El conjunto X contiene el conjunto Y como elemento” significa que alguno de los elementos de X es Y. “El conjunto X incluye el conjunto Y” significa que todos los elementos de Y están en X.

Cuando todos los elementos de los conjuntos $\bm{X}$ y $\bm{Y}$ son iguales, se dice que los conjuntos son “iguales”, y se escribe “ $\bm{X}$ $\bm{Y}$ ”. Si no son iguales, se escribe “ $\bm{X}$ $\neq$ $\bm{Y}$ ”. El orden de los elementos en un conjunto no importa, y los elementos duplicados se consideran como uno solo. Por ejemplo, si “ $\bm{X}$

$\{$ Perro

Gato

Conejo $\}$ ” y “ $\bm{Y}$

$\{$ Conejo

Gato

Perro

Perro $\}$ ”, entonces “ $\bm{X}$

$\bm{Y}$ ” es verdadero.

Los símbolos “

” y “ $\neq$ ” también se usan para comparar elementos. Si los elementos

son iguales, se escribe “

”; si son diferentes, se escribe “

$\neq$

”.

1.4Conjuntos de conjuntos

Ahora, pensemos en un “conjunto cuyos elementos son conjuntos”. Por ejemplo, un conjunto que contiene “Perro” como elemento se escribe “ $\{$ Perro $\}$ ”, y un conjunto que contiene ese conjunto como elemento se escribe “ $\{$ $\{$ Perro $\}$ $\}$ ”.

Por ejemplo, si “ $\bm{X}$

$\{$ $\{$ Perro $\}$

$\{$ Gato $\}$ $\}$ ”, “ $\bm{Y}$

$\{$ $\{$ Perro $\}$ $\}$ ” y “ $\bm{Z}$

$\{$ Perro $\}$ ”, entonces “ $\bm{Y}$ $\subset$ $\bm{X}$ ” y “ $\bm{Z}$ $\in$ $\bm{X}$ ”. Es importante distinguir si se trata de una relación entre elementos y conjuntos, o entre conjuntos.

1.5Unión y intersección

En el primer episodio, expliqué los conectores lógicos “o ( $\lor$ )” y “y ( $\land$ )”. En los conjuntos, hay operaciones similares. En conjuntos, “o” se representa con el símbolo “ $\cup$ ” y “y” con “ $\cap$ ”. Para los conjuntos $\bm{X}$ y $\bm{Y}$ , se escribe “ $\bm{X}$ $\cup$ $\bm{Y}$ ” y “ $\bm{X}$ $\cap$ $\bm{Y}$ ”.

Por ejemplo, si el conjunto $\bm{X}$ de cosas dulces es “ $\bm{X}$

$\{$ Miel

Azúcar

Pomelo $\}$ ” y el conjunto $\bm{Y}$ de cosas ácidas es “ $\bm{Y}$ Vinagre

Limón

Pomelo $\}$ ”, entonces: “Dulce o ácido” es “ $\bm{X}$ $\cup$ $\bm{Y}$

$\{$ Miel

Azúcar

Pomelo

Vinagre

Limón $\}$ ”. “Dulce y ácido” es “ $\bm{X}$ $\cap$ $\bm{Y}$

$\{$ Pomelo $\}$ ”.

Es decir, “ $\cup$ ” une conjuntos, y “ $\cap$ ” extrae la parte común.

1.6Conjunto vacío

Un conjunto que no tiene ningún elemento se llama “conjunto vacío”, y se representa con el símbolo “ $\emptyset$ ”. Por ejemplo, si el conjunto $\bm{X}$ no tiene ningún elemento, se escribe “ $\bm{X}$

$\emptyset$ ”. Este símbolo se parece a la letra griega “ $\phi$ ” (phi), pero es diferente.

“ $\emptyset$ ” y “ $\{$ $\emptyset$ $\}$ ” son conjuntos diferentes. “ $\emptyset$ ” es un conjunto sin elementos, mientras que “ $\{$ $\emptyset$ $\}$ ” es un conjunto cuyo único elemento es “ $\emptyset$ ”.

2.Números naturales

Ahora, para demostrar “

”, vamos a definir los “números naturales” usando conjuntos.

Los “números naturales” son la secuencia infinita “

$\dots$ ”. Hay diferentes opiniones sobre si incluir el

como número natural. En las matemáticas modernas, generalmente se incluye, pero en teoría de números a menudo se excluye. En este artículo, lo incluiremos.

Vamos a definir el conjunto de todos los números naturales $\mathbb{N}$ . Aunque podría parecer suficiente escribir “ $\mathbb{N}$

$\{$

$\dots$ $\}$ ”, esto supone que ya sabemos que sigue “

$\dots$ ”, por lo que no es una definición rigurosa. Por eso, vamos a usar los “axiomas de Peano” para definir los números naturales.

En resumen, partimos de “

” y seguimos con “

”, “

”, etc., sin bifurcaciones ni bucles. Esto define los números naturales. Este conjunto cumple con las condiciones (1) a (5) de los axiomas de Peano.

Los puntos (3) y (4) eliminan bifurcaciones y bucles, y el punto (5) excluye secuencias distintas de “

$\dots$ ”. Como puedes ver, los números naturales forman una secuencia única “

$\dots$ ”.

Lo importante es que los “números naturales” no existen como objetos concretos, sino que cualquier estructura que cumpla con estas condiciones se considera como números naturales.

Ahora, vamos a construir los números naturales usando solo conjuntos. Como los conjuntos son el elemento básico de las matemáticas, si podemos construir los números naturales con ellos, podremos tratarlos como elementos matemáticos.

Por ejemplo, si representamos

como el conjunto vacío “ $\emptyset$ ”, y el siguiente de un número

como “ $\{$

$\}$ ”, obtenemos: “ $\emptyset$

”, “ $\{$ $\emptyset$ $\}$

”, “ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

”, “ $\{$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$ $\}$

”, “ $\{$ $\{$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$ $\}$ $\}$

”. Esto cumple con los axiomas de Peano, por lo que se considera una definición válida de números naturales.

Otra forma es representar

como “ $\emptyset$ ” y el siguiente de

como “

$\cup$ $\{$

$\}$ ”. Entonces: “ $\emptyset$

”, “ $\emptyset$ $\cup$ $\{$ $\emptyset$ $\}$

$\{$ $\emptyset$ $\}$

$\{$

$\}$

”, “ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\cup$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

$\{$ $\emptyset$

$\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

$\{$

$\}$

”, “(etc.)

$\{$

$\}$

”, “ $\{$

$\}$

”. Esto también cumple con los axiomas de Peano, por lo que también es válido.

Como puedes ver, hay varias formas de construir los números naturales a partir de conjuntos. No importa cuál se use, mientras se cumplan los axiomas de Peano. A partir de ahora, representaremos los números naturales construidos de esta manera como “ $\mathbb{N}$ $\{$ $\dots$ $\}$ ”.

3.Teoría axiomática de conjuntos

3.1La paradoja de Russell

Hasta ahora he explicado los conjuntos de forma intuitiva, pero se sabe que esto puede llevar a contradicciones lógicas. Un ejemplo es la “paradoja de Russell”. La paradoja de Russell es la siguiente:

Primero, considera el conjunto “Palabras” que contiene todas las palabras. Como “Palabras” es una palabra, pertenece al conjunto. Es decir, “Palabras

$\{$ Perro

Manzana

Palabras

$\dots$ $\}$ ”.

Luego, considera el conjunto “Emojis” que contiene todos los emojis. Como “Emojis” no es un emoji, no pertenece al conjunto. Es decir, “Emojis

$\{$

$\dots$ $\}$ ”.

De esta manera, los conjuntos se dividen en dos tipos: los que se contienen a sí mismos como “Palabras”, y los que no se contienen a sí mismos como “Emojis”.

Ahora, considera el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Como “Emojis” no se contiene a sí mismo, pertenece a este conjunto. Es decir, “ $\{$ Emojis

$\dots$ $\}$ ”. La pregunta es: ¿Este conjunto se contiene a sí mismo?

Si se contiene, entonces no debería estar en el conjunto, lo cual es una contradicción. Si no se contiene, entonces cumple la condición para estar en el conjunto, por lo que debería estar, lo cual también es una contradicción.

Como explicé en el primer episodio, una proposición debe ser verdadera o falsa. Esta pregunta no puede ser una proposición. Por lo tanto, permitir conjuntos como “el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos” lleva a una contradicción lógica.

3.2Teoría axiomática de conjuntos

Por eso, en lugar de definir conjuntos como “colecciones de cosas” de forma intuitiva, se desarrolló una teoría que define rigurosamente qué es un conjunto mediante “axiomas”. Esto se llama “teoría axiomática de conjuntos”. La versión intuitiva se llama “teoría ingenua de conjuntos”.